shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

ΣΣΣ積分ΣΣΣbot[3](方針のみ)


f(z)=\dfrac{\exp(2iz)}{z(z^2+a^2)}で上半平面の半円(原点は避ける)。

ΣΣΣ積分ΣΣΣbot[4][5][6]


与式の値はいずれも同じ*1なのでこれをIとおく。
I=\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\log\left(2\sin\dfrac x2\cos\dfrac x2\right)dx
\displaystyle=\dfrac\pi2\log2+2\int_0^{\frac\pi4}\log(\sin y)dy+2\int_0^{\frac\pi4}\log(\cos y)dy\qquad\left(y=\dfrac x2 \text{と置換}\right)
\displaystyle=\dfrac\pi2\log2+2\int_0^{\frac\pi4}\log(\sin y)dy+2\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\log(\sin z)dz\qquad\left(z=\dfrac\pi2-y \text{と置換}\right)
\displaystyle=\dfrac\pi2\log2+2I
従ってI=-\dfrac\pi2\log2である。



\displaystyle\int_0^{\frac\pi2}\theta\cot\theta d\theta=\lim_{\varepsilon\to0}\Bigl[\theta\log(\sin\theta)\Bigr]_\varepsilon^{\frac\pi2}-\int_0^{\frac\pi2}\log(\sin\theta)d\theta=\dfrac\pi2\log2.



\displaystyle\int_0^1\dfrac{\arcsin x}xdx=\int_0^{\frac\pi2}\theta\cot\theta d\theta=\dfrac\pi2\log2\qquad(\theta=\arcsin x\text{と置換}).

*1:y=\dfrac\pi2-xと置換すればよい。

ΣΣΣ積分ΣΣΣbot[1][2]



[1]は有名なFresnel積分(値は\frac12\sqrt{\frac\pi2})であり、それと同様に[2] を求める。以下、[2]の解答。
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R>0とする。0とR、0とR\exp\left(\dfrac{i\pi}{2t}\right)をそれぞれ結ぶ線分で挟まれ、第一象限にある扇形の閉路Cを考える。
f(z)=\exp(-z^t)は正則であるからCに沿った積分の値は0となる。従って、
\displaystyle\int_0^Rf\left(x\exp\left(\dfrac{i\pi}{2t}\right)\right)\exp\left(\dfrac{i\pi}{2t}\right)dx=\int_0^Rf(x)dx+\int_0^{\frac{\pi}{2t}}f(Re^{i\theta})iRe^{i\theta}d\theta.
(左辺)\to\displaystyle\exp\left(\dfrac{i\pi}{2t}\right)\int_0^\infty(\cos x^t-i\sin x^t)dx\quad(R\to\infty)であり、
(右辺第一項)\to\displaystyle\int_0^\infty\exp(-x^t)dx=\frac1t\int_0^\infty y^{\frac1t-1}\exp(-y)dy=\frac1t\Gamma\left(\frac1t\right).
(右辺第二項)\leq\displaystyle R\int_0^{\frac{\pi}{2t}}\exp(-R^t\cos(t\theta))d\theta< \dfrac{2tR}\pi\int_0^1\exp(-R^ty)dy
\displaystyle=\dfrac{2t}{\pi R^{t-1}}\biggl[\exp(-R^ty)\biggr]_0^R\to0
以上より、\displaystyle\int_0^\infty{\sin\atop\cos} x^t={\sin\atop\cos}\left(\dfrac{\pi}{2t}\right)\dfrac1t\Gamma\left(\frac1t\right).

第7回 近畿大学理工学部数学コンテスト 問題2

全てのnに対し\tan\left(\frac x{2^n}\right)の値があるので、xがπの整数倍となるのはx=0のときのみ。このとき与式の値は0。
以下、xはπの整数倍でないとする。
\tan\theta-\dfrac1{\tan\theta}=\dfrac{\tan^2\theta-1}{\tan\theta}=-\dfrac2{\tan(2\theta)}に注意すると、
\displaystyle\sum_{n=0}^m\frac{\tan\left(\frac x{2^n}\right)}{2^n}-\dfrac1{2^m\tan\left(\frac x{2^m}\right)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{m-1}\frac{\tan\left(\frac x{2^n}\right)}{2^n}-\dfrac1{2^{m-1}\tan\left(\frac x{2^{m-1}}\right)}
=\cdots=\tan x-\dfrac1{\tan x}
であるからm→∞の極限をとって\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{\tan\left(\frac x{2^n}\right)}{2^n}=\dfrac1x+\tan x-\dfrac1{\tan x}となる。

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なお、こちらにもほぼ同じ問題がある。

TeXっぽいことを書けと言われたが

最近はTeX*1を触っていないのでネタがないのだが、書くと喜ぶ人がいるようなので昔twitterでつぶやいたネタの解説をする。

FizzBuzz問題。140文字以内にするのに苦労した記憶がある。

ちゃんとTeXで書いてある*2ので、適当なファイル(fizzbuzz.texとでもしよう)に保存して、tex fizzbuzz.texすれば、*が出てきて止まるので、\endと入れるとfizzbuzz.dviを出力してくれるはずである。いちいち入れるのが面倒な場合は末尾に\endを付けて保存しておけば大丈夫。*3

適宜分けて書く。

\let~\ifnum\let\c\newcount\let\a\advance

ここは文字数を削減するため、繰り返し出てくるコントロールシーケンスを短いものに割り当てている。
~はアクティブ文字(カテゴリーコード13)なので1文字で命令となる。\aや\cもあまり考えず名前を付けているので、何らかの文書に埋め込んで使うといった用途の場合、このあたりは修正した方が良いだろう。

\c\f\c\b\c\n

カウンタ\f,\b,\nを宣言(?)。0で初期化される。それぞれ、Fizz用、Buzz用、数字用のカウンタ。
なお、これらも衝突の危険があるため注意。

\loop~\n<100 ... \repeat

カウンタ\nを99まで回すループ。

\a\f1\a\b1\a\n1

カウンタ\f,\b,\nを1加算する。

~\f=3\f0Fizz\fi

\fが3になったら\fを0にしてFizzを出力。

~\b=5\b0Buzz\else~\f>0{\the\n}\fi\fi\ 

\bが5になったら\bを0にしてBuzzを出力し、
\bが5でないときに、\fが0でない(FizzもBuzzも出力されていない)ときには\nの値を出力。

\ 

それぞれの数に対応する出力の間の区切りのスペース。これだと最後に無駄なスペースが入ってしまうので改良の余地がある。

*1:ここではオリジナルのエンジンではなく、それに関連するもの全体を指している。多くの人がTeXと呼んでいるそれだと思っていただければよい。

*2:ここではLaTeXなどで定義された命令を使ってない、程度の意味

*3:実はオリジナルのtexエンジン使ったの初めてかもしれない。よく分からなかったのでTeXBookの6章を参照した。

東工大2010年前期3


n,mのカードを引くことと3k+3-n,3k+3-mのカードを引くことが一対一対応するので、大きいほうが3の倍数である確率もp(n)。したがってp(n)は一枚だけカードを引いたときにそれが3の倍数である確率に等しく、p(n)=\frac k{3k+2}

京大2005年後期理系問題6


求める確率は裏の出た100円玉の枚数より裏の出た500円玉の枚数の方が多い確率と等しく、投げたときにはこれらのいずれかの事象が起こり、かつ同時には起こらないから求める確率は\frac12

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どこまで書けばいいかよく分からない。
「いずれかの事象が起こり」「同時には起こらない」と書いてしまってるが、
表/裏の100円玉/500円玉(4通り)の枚数をN(表,100),N(表,500),N(裏,100),N(裏,500)とおくと、いずれの事象も起こらない場合、N(表,100)≧N(表,500)、N(裏,100)≧N(裏,500)であるが、n=N(表,100)+N(裏,100)≧N(表,500)+N(裏,500)=n+1より不適
みたいに書いとく方がいいのかな。