東大2010年前期理系問題1

3辺の長さがととの直方体を，長さがの1辺を回転軸として90°回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体をとする．
(1)の体積をを用いて表せ．
(2)のとき，の体積のとりうる値の範囲を求めよ．

(1)
長さがの1辺に垂直な平面で切った図形は，半径，中心角の扇型にを隣辺とする直角三角形を2つつけたものであるから，面積は．
従っての体積は.
(2)
とおくとであり，体積は．
よりの係数は正であるから．
相乗平均≦相加平均の関係より，であり，等号成立は．
は体積であり0でないことと合わせて…☆が必要．
ここで，はに関して連続であり，であるからは☆の範囲の任意の値をとりうる．

東大2001年前期文系問題1

白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる．
碁石がどのように並んでいても，次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ．

その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと，残りは白石と黒石が同数となる．
ただし，碁石が1つも残らない場合も同数とみなす．

左から個までの碁石のうち黒石であるものの数から白石であるものの数を引いた値をとおく．
なので「ならば」が常に成立すればだがより矛盾．
よってかつなるが存在するが，は1ずつ増減するので．
このとき，番目の石は条件を満たす黒石である．

東大2000年前期理系問題1

AB=AC, BC=2 の直角二等辺三角形ABCの各辺に接し，ひとつの軸が辺BCに平行な楕円の面積の最大値を求めよ．

適当なを選び，この図形をBC方向に倍，BCと垂直方向に倍すれば楕円が円に移るようにする．
この円をOとおくと，Oの面積はもとの楕円の面積に等しい．
この変換で△ABCは円Oを内接円とする二等辺三角形Tに移り，Tの面積は△ABCの面積つまり1に等しい．
Oの半径，Tの周長をとおくと．
Tの三辺の長さをとおくと，ヘロンの公式と相乗平均≦相加平均より.
等号成立はのときで，このとき最初に施した変換と逆の変換を施せば確かに題意を満たす楕円が存在する．
従って求める面積の最大値はの最大値に等しく，．

東大1999年前期理系問題5

(1)を自然数とする．をとおくとき，を満たすすべての整数について，二項係数は偶数であることを示せ．
(2)以下の条件を満たす自然数をすべて求めよ．
条件：を満たすすべての整数について二項係数は奇数である．

(1)
.
よりはで割り切れないのでは偶数．
(2)
自然数について，および(1)の結果よりの偶奇はによらず等しく，であるから全て奇数．よってと書けるは条件を満たす．
また，と書けないとき，適当なをとってが成り立つようにできる．
ここでよりは偶数なのでは条件を満たさない．
以上より求めるは(:自然数)．

東大1997年前期理系問題2

を正の整数，を実数とする．すべての整数に対して

が成り立つようなの範囲をを用いて表せ．

左辺をとおく．
より．
より．
これらよりが必要．
とおくと，
であるから，
つまりのときはが成立する．
また，のとき，より十分なので，あわせてならば十分．
以上より求めるの範囲は．

東大1983年理系問題2

数列において，であり，に対しては，次の条件(1)，(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという．
(1) は，のどの項とも異なる．
(2) のうちから重複なくどのように項を取り出しても，それらの和がに等しくなることはない．
このとき，をで表し，その理由を述べよ．

は偶数である．
あるが存在し，が偶数でが奇数であると仮定する．
は偶数なので，から項を重複なく取り出した和として表せるが，これにを加えるとになり矛盾．
従っては偶数．
ここで数列を考えると，これはと同じ条件を満たす．
このような数列は一意であるから．より．

京大2010年前期理系甲問題3

を正の実数とする．座標平面上の3点A，B，Pをとり，△APBを考える．
の値が変化するとき，∠APBの最大値を求めよ．

Bから直線に下ろした垂線の足をHとおくとHであり，BHを直径とする円はAを通る．
∠APBが最大となるのは，△APBの外接円の直径が最小となるときで，≧BP≧BHより求める最大値は∠AHB．