を自然対数の底,すなわちとする。 すべての正の実数に対し,次の不等式が成り立つことを示せ。
補題「数列が単調増加でのとき、」を示す。
1より大きい任意のnに対しなので。
ここで、を考える。
よりは単調増加。
さらにであるから、補題より。
また、、とおき、とする。
よりは単調増加。
さらにかつよりであるから、補題より。つまり。
高校範囲だと極限をどう扱うのかよく分かってない。こういう解答だとバツかも。
なるべく計算量が少なくなるように頑張ったつもり(二乗の展開と分数の足し算くらい?)。