shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

TeXっぽいことを書けと言われたが

TeX

最近はTeX*1を触っていないのでネタがないのだが、書くと喜ぶ人がいるようなので昔twitterでつぶやいたネタの解説をする。\let~\ifnum\let\c\newcount\let\a\advance\c\f\c\b\c\n\loop~\n<100\a\f1\a\b1\a\n1~\f=3\f0Fizz\fi~\b=5\b0Buzz\else~\f>0{\the\n}\…

東工大2010年前期3

1からnまでの数字がもれなくひとつずつ書かれたn枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く。この時引いたカードの数字のうち小さい方が3の倍数である確率をp(n)とする。(中略)正の整数kに対し、p(3k+2)をkで表せ。(10東工大) #数学— 数学問題b…

京大2005年後期理系問題6

n枚の100円玉とn+1枚の500円玉を同時に投げたとき、表の出た100円玉の枚数より表の出た500円玉の枚数の方が多い確率を求めよ。(05京都)— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2017年5月16日 求める確率は裏の出た100円玉の枚数より裏の出た500円玉の枚数の…

東工大11年AO II-1

f(x^2+1)={f(x)}^2+1を満たすn次の多項式f(x)が存在するような自然数nを全て求めよ。(11東工大AO) #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2017年4月29日とおくと、題意の条件はと書ける。 また、より……(*)。 とおくとは条件を満たす次の多項式であ…

東大1968年前期理系問題2(文系問題2)

正方形ABCDを底面とし、Vを原点とする正四角錐において、底面と斜面のなす二面角が45°のとき、となりあう二斜面のなす二面角を求めよ。 このABCDを一面とし、この四角錐V-ABCDを含む立方体ABCD-EFGHを考える。 底面と斜面のなす二面角が45°なので面ABVと面BC…

大学数学入試過去問題解答

shaitan.hatenablog.com というのをまとめていたが、良さそうなページを見つけたので追加東京大学 数学入試問題解答一覧 京都大学 数学入試問題解答一覧

京大2017年前期理系問題5

a≧0とする. の範囲で曲線, 直線y=ax, 直線によって囲まれた部分の面積をS(a)とする. このとき, S(a)の最小値を求めよ. (ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする.) 直線と曲線の位置関係を考える…

東工大2017年前期問題2

実数の関数 の最大値と最小値を求めよ. とおくと、である。 (をに変数変換)。 従ってf(x)は周期πの周期関数であるから、の範囲で考えればよい。 更に(をに変数変換)。 であることに注意すると、の範囲で考えればよい。 ここで であり、 となるが、の範囲…

京大2017年前期理系問題3

p,qを自然数, ,を を満たす実数とする. このとき, を満たすp,qの組(p,q)をすべて求めよ. よりであるから、 の両辺をで割ってとなる。 これよりである。 ここで、ならば(☆)が成立する。 さて、を既約分数で表すことを考える。aは2p-1の約数なので奇数であるか…

京大2017年前期理系問題2

四面体OABCを考える. 点D, E, F, G, H, Iは, それぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり, 頂点ではないとする. このとき, 次の問に答えよ. (1)とが平行ならばAE:EB=CF:FBであることを示せ. (2)D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき, これらの点…

京大2017年前期理系問題6

nを自然数とする. n個の箱すべてに, , , , , の5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている. 各々の箱から1枚ずつカードを取り出し, 取り出した順に左から並べてn桁の数Xを作る. このとき, Xが3で割り切れる確率を求めよ. Xを3で割った余りをR(X)とする…

演算子の必然性

(41)各空欄に+、-、×、÷のいずれかを入れて、下の等式を完成させよ。ただし空欄のままにして数字を繋げるのは無しとする。1□2□3□4□5□6□7□8□9□10=2015— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2017年2月2日 nとn+1の間に入る演算子をとする。以下の三点に注意…

東大1990年前期理系問題1

とするとき, を求めよ. より.. 従って. はさみうちの原理により.

東大2001年後期理系問題1

任意の自然数に対して,常に不等式 が成立するような最大の整数を求めよ。 示すべき不等式の左辺をA(n)とおく。 である。 ここで、であるから、 . また、であるから、 . 以上より、求める整数である。

東大2015年前期理系問題4

数列を次のように定める。 (1)がnによらないことを示せ。 (2)すべてのに対し、をのみを使って表せ。 (3)数列を次のように定める。 すべてのに対し、を示せ。 (1) すべてのに対しであるから、 となりnによらない。 (2) (1)の途中式よりすべてのに対し である…

東大2016年前期理系問題1

を自然対数の底,すなわちとする。 すべての正の実数に対し,次の不等式が成り立つことを示せ。 補題「数列が単調増加でのとき、」を示す。 1より大きい任意のnに対しなので。ここで、を考える。 よりは単調増加。 さらにであるから、補題より。 また、、と…

今月の問題、今月のうちに

shaitan.hatenablog.com十分性の証明↓背景色と同じにすればいいか正六角形の一辺の長さが3の倍数のとき、対角線の長さは6の倍数であり、 松竹梅のそれぞれと対角線との共有部分の辺の本数はいずれも同じであり偶数本となる。 よってハニカム格子上で偶数本の…

数学の入社試験を見た(見ただけ)を見た(見ただけ)

nloglogn.hatenablog.com 必要性の証明の別解↓背景色と同じにすればいいか一辺の長さnの正六角形が折れ線で作れるとする。 三角格子はハニカム格子三つでできている。それぞれの格子と正六角形の共通部分を「松」「竹」「梅」とする。 折れ線の二辺は同じハ…

前の記事のタイトルは「インテル入ってる」の方が良かったかなって思った

(30) 2^(n+1)個の自然数があり、これらの和と積が等しいという。この時、少なくとも2^n個は1であることを証明せよ。(ただしnは自然数とする)— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) December 11, 2015 2^(n+1)個の自然数をa[1]≦a[2]≦…≦a[2^n]≦b[1]≦b[2]≦…≦b[2…

299792458は9桁だったからダメだった

(20) 以下の事象A、Bが同値であることを示せ。 A:ある自然数Nを一の位から3桁ごとに区切り、区切った3桁の数を交互に足し引きしてできた数が7の倍数。 (例)2058420→2-58+420=364=7×52 B:ある自然数Nは7の倍数である。— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2…

専用マグネットバー“くっつくん”は別売り商品です。

shaitan.hatenablog.comm=nは明らか。 m (ga)^n=(gb)^mよりg^(n-m)a^n=b^mだが、aとbは互いに素なのでa=1。 これを代入して両辺のm乗根をとるとg^(b-1)=b。 b>1よりg>1であり、。 等号成立はb-1=1かつg-1=1のとき、つまり(m,n)=(2,4)のとき。 m>nのときも同…

箱ティッシュの最初に二組取れちゃうのがなんだかもったいない

(16) n^m=m^n (m、nは自然数)を満たすm、nの組み合わせを求めよ。— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2015, 12月 10m=nは明らか。以下、m x>0でとおく。f(n)=f(m)となる(m,n)を求めればよい。 であるから、 f(x)はxeで単調減少。 従って、f(m)=f(n)である…

本文と無関係なブログタイトルって見るたびに謎だったんだけど腑に落ちた。

(2) n人で席替えをすることを考える。全員が異なる席へ移る確率をP(n)とする時、lim(n→∞)P(n)を求めよ。— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2015, 12月 10 席替えはいったん全員が席から立ち、一人ずつランダムに空いている席に座るとしてよい。 k番目に…

のってぃーちゃんのツイートが可愛かったので

のってぃーのっとちゃん*1(@knottyknot)のRTで自作数学問題bot(@mathquestionakt)の存在を知った。 解答もある。【定期ツイ】 このbotの全問題の解説を掲載しているサイトがあるのでこちらも参考にしてみてください。(このアカウントの管理人とは別の人のサ…

京大特色入試と聞いて、を読んで、を書いて

shaitan.hatenablog.com問題の画像は新聞のなのでそのうち消えそうだと思って保存しとこうかと思ったけどぐぐったら書き写してる人見つけたのでいいや。 一応ざっと書いておくと、n個のコインを円周上に並べ、連続するk個をひっくり返す操作を行ってすべて表…

京大特色入試と聞いて、を読んで

nloglogn.hatenablog.com いつもの別解です。 なんかちゃんとした答案を書けなくなってるので概略のみ。コインの番号とかいい感じになってると思って下さい。 【問3】 操作の順序は関係なく、同一の操作の回数も偶奇しか関係ない。n種の操作のそれぞれを高々…

東大2010年前期理系問題1

3辺の長さがととの直方体を,長さがの1辺を回転軸として90°回転させるとき,直方体が通過する点全体がつくる立体をとする. (1)の体積をを用いて表せ. (2)のとき,の体積のとりうる値の範囲を求めよ. (1) 長さがの1辺に垂直な平面で切った図形は,半径,中…

東大2001年前期文系問題1

白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる. 碁石がどのように並んでいても,次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ. その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと,残りは白石と黒石が同数となる. ただし…

東大2000年前期理系問題1

AB=AC, BC=2 の直角二等辺三角形ABCの各辺に接し,ひとつの軸が辺BCに平行な楕円の面積の最大値を求めよ. 適当なを選び,この図形をBC方向に倍,BCと垂直方向に倍すれば楕円が円に移るようにする. この円をOとおくと,Oの面積はもとの楕円の面積に等しい.…

東大1999年前期理系問題5

(1)を自然数とする.をとおくとき,を満たすすべての整数について,二項係数は偶数であることを示せ. (2)以下の条件を満たす自然数をすべて求めよ. 条件:を満たすすべての整数について二項係数は奇数である. (1) . よりはで割り切れないのでは偶数. (2)…