shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

2014-06-17から1日間の記事一覧

京大1977年文系問題6

であるような△において,辺の三等分点をとる().このとき, (1) ととの大小関係をしらべよ. (2) ととの大小関係をしらべよ. (1) とおく. より (2) を底辺と考えると△と△の面積は等しいので,. より. △を考えると,よりは鈍角ではない. これより も鈍角…

京大1975年理系問題2

(1) のときを示せ. (2) を示せ(は自然数). (1) 相加平均と相乗平均の関係より. (2) であるから, .

京大1975年文系問題6

が実数でのとき,数列をによって定義する. このとき (1) をとで表わせ. (2) を求めよ. (1) とおくと,. これよりであるから. (2) .

京大1975年文理共通問題3

がこの順に等差数列であり,がこの順に等比数列であるときはどのようなときか. 条件より,である. なので. つまり (. 従って がこの順に公差の等差数列であることが必要だが, このときとなりがこの順に等比数列となるので十分.

京大1974年理系問題1

であって であるという.との値を求めよ. とおく. を三頂点とする三角形は重心と外心がいずれも原点であり一致するから正三角形. これよりとのなす角はであるからより. 同様にであるからそれぞれ加えて となるがよりのみ適する. つまり.

京大1974年文理共通問題4

がの多項式で,次の三条件をみたすものとする.およびを求めよ. (イ). (ロ)はで割り切れる. (ハ)は次式で,の係数は1, の係数は0である. (ロ)よりとおける(は定数). を両辺で積分すると, (イ)より (は積分定数). 従って. となるので (ハ)より. 以上よ…

京大1973年理系問題4

を求めよ. (与式) .

京大1973年文系問題5

において,とし,この関数のグラフは点(1,1)および(3,5)を通るものとする. このときの最小値を最大にするようなの値を求めよ. が最小値を持つことから. 点(1,1)および(3,5)を通るから, より. 従ってより最小値はである. より相加平均と相乗平均の関係か…

京大1973年文理共通問題2

は実数とする.3次方程式において, 一根が1で,他の二根はその絶対値がいずれも1であるための必要十分条件を求めよ. 他の二根をそれぞれとおく. 根と係数の関係よりであるから. (i)のとき とおくと,であるから となるので,. 逆にのとき,であり, の判…

京大1972年理系問題6

枚のカードがあり,それぞれのカードにはという数字が記入されている. これをよく混ぜて無作為(任意)に 1 枚のカードを取り出すとき,それに記入された数の期待値(平均値)をとする. また,同時に2枚のカードを取り出すとき,記入された 2 数の和の期待…

京大1971年文理共通問題2

は複素数で,の絶対値は1とする.このとき を満足する複素数があるための必要十分条件はであることを示せ. ここにはそれぞれの共役複素数を表す. (i)必要性 のとき,共役をとってを掛けると,より. これらの式を比較して. (ii)十分性 のとき,とおくと,…

京大1970年理系問題5

関数の極大値を求めよ.ただし,とする. であり,極大となるのはこの符号が+から-に変化する点なので,極大値を取るのはのとき. をに変数変換すると,極大値はであるから,中辺と右辺の平均をとって .

京大1970年理系問題4

半径の円の定弦をとし,その長さをとする. 円の周上の動点について,積がとなるのは,がどの位置にあるときか. 正弦定理より∠であるから,△の面積は. つまり,直線と距離だけ離れた直線(2本ある)と円の共有点にがあるとき. このような点はのとき2個,の…

京大1970年理系問題3

空間に2直線がある. の上にそれぞれ3点がこの順にあって, であるとする. 線分の中点をそれぞれとするとき, 3点は同一直線の上にあることを証明せよ. の位置ベクトルをそれぞれとおき, とおく. の位置ベクトルはそれぞれであるから の位置ベクトルはと…

京大1970年文系問題4

次の6つの条件をみたすのうち,を最小にするの値を求めよ. およびより, およびよりであり. これらを足して. が最小となるのは等号が成立するとき. このときであり,より. よって, , が求めるである.