を正の実数とする．座標平面上の3点A，B，Pをとり，△APBを考える． の値が変化するとき，∠APBの最大値を求めよ． Bから直線に下ろした垂線の足をHとおくとHであり，BHを直径とする円はAを通る． ∠APBが最大となるのは，△APBの外接円の直径が最小となるときで…

ををみたす行列(は実数)とし，正の整数に対して によりを定める．ならばすべてのに対してであることを示せ． とおくとケーリー・ハミルトンの定理より． を右からかけて． ここで，のときと仮定すると， よりのときもが成立する． であるから，数学的帰納法…

は有理数か． が有理数であると仮定する． (:整数)と書け，とおくと. これよりなので，であるが， 右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾． つまりは有理数ではない．