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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東大2001年後期理系問題1

任意の自然数に対して,常に不等式 が成立するような最大の整数を求めよ。 示すべき不等式の左辺をA(n)とおく。 である。 ここで、であるから、 . また、であるから、 . 以上より、求める整数である。

東大2010年前期理系問題1

3辺の長さがととの直方体を,長さがの1辺を回転軸として90°回転させるとき,直方体が通過する点全体がつくる立体をとする. (1)の体積をを用いて表せ. (2)のとき,の体積のとりうる値の範囲を求めよ. (1) 長さがの1辺に垂直な平面で切った図形は,半径,中…

東大2001年前期文系問題1

白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる. 碁石がどのように並んでいても,次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ. その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと,残りは白石と黒石が同数となる. ただし…

東大2000年前期理系問題1

AB=AC, BC=2 の直角二等辺三角形ABCの各辺に接し,ひとつの軸が辺BCに平行な楕円の面積の最大値を求めよ. 適当なを選び,この図形をBC方向に倍,BCと垂直方向に倍すれば楕円が円に移るようにする. この円をOとおくと,Oの面積はもとの楕円の面積に等しい.…

東大1999年前期理系問題5

(1)を自然数とする.をとおくとき,を満たすすべての整数について,二項係数は偶数であることを示せ. (2)以下の条件を満たす自然数をすべて求めよ. 条件:を満たすすべての整数について二項係数は奇数である. (1) . よりはで割り切れないのでは偶数. (2)…

東大1997年前期理系問題2

を正の整数,を実数とする.すべての整数に対して が成り立つようなの範囲をを用いて表せ. (左辺)とおく. より. より. これらよりが必要. とおくと, であるから, つまりのときはが成立する. また,のとき,より十分なので,あわせてならば十分. 以…

東大1983年理系問題2

数列において,であり,に対しては,次の条件(1),(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという. (1) は,のどの項とも異なる. (2) のうちから重複なくどのように項を取り出しても,それらの和がに等しくなることはない. このとき,をで表し,その理由…

京大2010年前期理系甲問題3

を正の実数とする.座標平面上の3点A,B,Pをとり,△APBを考える. の値が変化するとき,∠APBの最大値を求めよ. Bから直線に下ろした垂線の足をHとおくとHであり,BHを直径とする円はAを通る. ∠APBが最大となるのは,△APBの外接円の直径が最小となるときで…

京大2006年後期理系問題6(文系問題5)

は有理数か. が有理数であると仮定する. (:整数)と書け,とおくと. これよりなので,であるが, 右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾. つまりは有理数ではない.