shaitan's blog

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数学問題bot

東大1993年後期問題2

xy平面で直線Lと点Aの距離をd(L,A)。相異なる3点A,B,Cが与えられた時f(L)= d(L,A) ^2+d(L,B)^2+ d(L,C) ^2とおく。(中略)2)異なる3本の直線がf(L)を最小にするなら△ABCは正三角形であることを示せ。(93東大後期・理) #数学— 数学問題bot (@mathe…

東大1995年前期理系問題2

f(x)=1-sin(x)に対し、g(x)=∫[0,x](x-t)f(t)dtとおく。このとき任意の実数x,yについてg(x+y)+g(x-y)≧2g(x)が成り立つことを示せ。(95東大理系) #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2022年8月4日 としてよい。 平均値の定理より、 を満たすが存在す…

東大2003年前期理系問題6(その3)

shaitan.hatenablog.com shaitan.hatenablog.com 飽きもせずまた別解。中学知識で解いてみる。図は数学用のソフトではなくJw_cadで描いた。 図のように半径1、頂角36°の扇形OABを考える。辺AB上に∠ABC=36°を満たす点Cを取る。このとき、△OAB∽△BCAであり、AB=…

東大2003年前期理系問題6(その2)

shaitan.hatenablog.com 逆三角関数の積分表示を用いた解法のまとめ。 のとき、。 最左辺と最右辺のそれぞれの平方根をとってxについて0からまで積分する。 、であるから。 arctanでも同様に、から示すことができる。折れ線で評価する*1よりは簡単だが、の評…

東大2003年前期理系問題6(その1)

円周率が3.05より大きいことを証明せよ。(03東大) #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2021年7月19日 で定義された関数を考える。 、 、 。 従って、同様に。 よって。 これより。 を用いた解答であるが、この左辺はクザーヌスがの近似関数とし…

北大2010年前期理系問題5

2本の当たりくじを含む102本のくじを、1回に1本ずつ、くじがなくなるまで引き続けることにする。(中略)ABCの3人がABCABCA……の順にこのくじ引きを行うとする。1本目の当たりくじをAが引く確率、Bが引く確率、Cが引く確率をそれぞれ求めよ。(10北大・理…

千葉大2010年前期医学部問題4

1)3^n=k^3+1をみたす正の整数の組(k,n)を全て求めよ。2)3^n=k^2-40をみたす正の整数の組(k,n)を全て求めよ。(10千葉) #math— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2011年9月30日 (1) k=1は不適。以下、k≧2とする。 であり、よりはで割り切れる。因数定理よ…

京大2011年前期理系問題6

空間内に四面体ABCDを考える。このとき、4つの頂点A,B,C,Dを同時に通る球面が存在することを示せ。(11京大・理) #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2022年8月2日 A,B,Cを同時に通る相異なる球面をそれぞれf(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0とする*1。Dの座標…

07京都高校生数学コンテスト

新潟大2020 - shaitan's blogと同じように解いた問題があったので貼っておく。4個のサイコロを投げて出た目の数の和を4で割ったときの余りを考える。余りがいくらになるときが最も確率が大きいか求めよ。(07京都高校生数学コンテスト) #math— 数学問題bo…

第7回 近畿大学理工学部数学コンテスト 問題2

無限級数の和Σ[n=1,∞]1/(2^n)tan{x/(2^n)}をx,tanxのなるべく簡単な式で表せ。(近畿大学第7回数学コンテスト) #math— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2010年10月31日 全てのnに対しの値があるので、xがπの整数倍となるのはx=0のときのみ。このとき与式の…

東工大2010年前期3

1からnまでの数字がもれなくひとつずつ書かれたn枚のカードの束から同時に2枚のカードを引く。この時引いたカードの数字のうち小さい方が3の倍数である確率をp(n)とする。(中略)正の整数kに対し、p(3k+2)をkで表せ。(10東工大) #数学— 数学問題b…

東工大11年AO II-1

f(x^2+1)={f(x)}^2+1を満たすn次の多項式f(x)が存在するような自然数nを全て求めよ。(11東工大AO) #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2017年4月29日とおくと、題意の条件はと書ける。 また、より……(*)。 とおくとは条件を満たす次の多項式であ…

東大2001年後期理系問題1

任意の自然数に対して,常に不等式 が成立するような最大の整数を求めよ。 与えられた不等式の左辺をA(n)とおく。 である。 ここで、であるから、 . また、であるから、 . 以上より、求める整数である。

東大2010年前期理系問題1

3辺の長さがととの直方体を,長さがの1辺を回転軸として90°回転させるとき,直方体が通過する点全体がつくる立体をとする. (1)の体積をを用いて表せ. (2)のとき,の体積のとりうる値の範囲を求めよ. (1) 長さがの1辺に垂直な平面で切った図形は,半径,中…

東大2001年前期文系問題1

白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる. 碁石がどのように並んでいても,次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ. その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと,残りは白石と黒石が同数となる. ただし…

東大2000年前期理系問題1

AB=AC, BC=2 の直角二等辺三角形ABCの各辺に接し,ひとつの軸が辺BCに平行な楕円の面積の最大値を求めよ. 適当なを選び,この図形をBC方向に倍,BCと垂直方向に倍すれば楕円が円に移るようにする. この円をOとおくと,Oの面積はもとの楕円の面積に等しい.…

東大1999年前期理系問題5

(1)を自然数とする.をとおくとき,を満たすすべての整数について,二項係数は偶数であることを示せ. (2)以下の条件を満たす自然数をすべて求めよ. 条件:を満たすすべての整数について二項係数は奇数である. (1) . よりはで割り切れないのでは偶数. (2)…

東大1997年前期理系問題2

を正の整数,を実数とする.すべての整数に対して が成り立つようなの範囲をを用いて表せ. 左辺をとおく. より. より. これらよりが必要. とおくと, であるから, つまりのときはが成立する. また,のとき,より十分なので,あわせてならば十分. 以…

東大1983年理系問題2

数列において,であり,に対しては,次の条件(1),(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという. (1) は,のどの項とも異なる. (2) のうちから重複なくどのように項を取り出しても,それらの和がに等しくなることはない. このとき,をで表し,その理由…

京大2010年前期理系甲問題3

を正の実数とする.座標平面上の3点A,B,Pをとり,△APBを考える. の値が変化するとき,∠APBの最大値を求めよ. Bから直線に下ろした垂線の足をHとおくとHであり,BHを直径とする円はAを通る. ∠APBが最大となるのは,△APBの外接円の直径が最小となるときで…

京大2006年後期理系問題6(文系問題5)

は有理数か. が有理数であると仮定する. (:整数)と書け,とおくと. これよりなので,であるが, 右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾. つまりは有理数ではない.