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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京都大学2017年前期理系問題5

a≧0とする. の範囲で曲線, 直線y=ax, 直線によって囲まれた部分の面積をS(a)とする. このとき, S(a)の最小値を求めよ. (ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする.) 直線と曲線の位置関係を考える…

東工大2017年前期問題2

実数の関数 の最大値と最小値を求めよ. とおくと、である。 (をに変数変換)。 従ってf(x)は周期πの周期関数であるから、の範囲で考えればよい。 更に(をに変数変換)。 であることに注意すると、の範囲で考えればよい。 ここで であり、 となるが、の範囲…

京都大学2017年前期理系問題3

p,qを自然数, ,を を満たす実数とする. このとき, を満たすp,qの組(p,q)をすべて求めよ. である。よってq≠1。 ここで、上式の値を既約分数で表すことを考える。aは2p-1の約数なので奇数であるからは2で約分できる。また、とqは互いに素であることに注意する…

京都大学2017年前期理系問題2

四面体OABCを考える. 点D, E, F, G, H, Iは, それぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり, 頂点ではないとする. このとき, 次の問に答えよ. (1)とが平行ならばAE:EB=CF:FBであることを示せ. (2)D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき, これらの点…

京大2017年前期理系問題6

nを自然数とする. n個の箱すべてに, , , , , の5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている. 各々の箱から1枚ずつカードを取り出し, 取り出した順に左から並べてn桁の数Xを作る. このとき, Xが3で割り切れる確率を求めよ. Xを3で割った余りをR(X)とする…

演算子の必然性

(41)各空欄に+、-、×、÷のいずれかを入れて、下の等式を完成させよ。ただし空欄のままにして数字を繋げるのは無しとする。1□2□3□4□5□6□7□8□9□10=2015— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2017年2月2日 nとn+1の間に入る演算子をとする。以下の三点に注意…

東大1990年前期理系問題1

とするとき, を求めよ. より.. 従って. はさみうちの原理により.

東大2001年後期理系問題1

任意の自然数に対して,常に不等式 が成立するような最大の整数を求めよ。 示すべき不等式の左辺をA(n)とおく。 である。 ここで、であるから、 . また、であるから、 . 以上より、求める整数である。

東大2015年前期理系問題4

数列を次のように定める。 (1)がnによらないことを示せ。 (2)すべてのに対し、をのみを使って表せ。 (3)数列を次のように定める。 すべてのに対し、を示せ。 (1) すべてのに対しであるから、 となりnによらない。 (2) (1)の途中式よりすべてのに対し である…

東大2016年前期理系問題1

を自然対数の底,すなわちとする。 すべての正の実数に対し,次の不等式が成り立つことを示せ。 補題「数列が単調増加でのとき、」を示す。 1より大きい任意のnに対しなので。ここで、を考える。 よりは単調増加。 さらにであるから、補題より。 また、、と…

今月の問題、今月のうちに

shaitan.hatenablog.com十分性の証明↓背景色と同じにすればいいか正六角形の一辺の長さが3の倍数のとき、対角線の長さは6の倍数であり、 松竹梅のそれぞれと対角線との共有部分の辺の本数はいずれも同じであり偶数本となる。 よってハニカム格子上で偶数本の…

数学の入社試験を見た(見ただけ)を見た(見ただけ)

nloglogn.hatenablog.com 必要性の証明の別解↓背景色と同じにすればいいか一辺の長さnの正六角形が折れ線で作れるとする。 三角格子はハニカム格子三つでできている。それぞれの格子と正六角形の共通部分を「松」「竹」「梅」とする。 折れ線の二辺は同じハ…

前の記事のタイトルは「インテル入ってる」の方が良かったかなって思った

(30) 2^(n+1)個の自然数があり、これらの和と積が等しいという。この時、少なくとも2^n個は1であることを証明せよ。(ただしnは自然数とする)— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) December 11, 2015 2^(n+1)個の自然数をa[1]≦a[2]≦…≦a[2^n]≦b[1]≦b[2]≦…≦b[2…

299792458は9桁だったからダメだった

(20) 以下の事象A、Bが同値であることを示せ。 A:ある自然数Nを一の位から3桁ごとに区切り、区切った3桁の数を交互に足し引きしてできた数が7の倍数。 (例)2058420→2-58+420=364=7×52 B:ある自然数Nは7の倍数である。— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2…

専用マグネットバー“くっつくん”は別売り商品です。

shaitan.hatenablog.comm=nは明らか。 m (ga)^n=(gb)^mよりg^(n-m)a^n=b^mだが、aとbは互いに素なのでa=1。 これを代入して両辺のm乗根をとるとg^(b-1)=b。 b>1よりg>1であり、。 等号成立はb-1=1かつg-1=1のとき、つまり(m,n)=(2,4)のとき。 m>nのときも同…

箱ティッシュの最初に二組取れちゃうのがなんだかもったいない

(16) n^m=m^n (m、nは自然数)を満たすm、nの組み合わせを求めよ。— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2015, 12月 10m=nは明らか。以下、m x>0でとおく。f(n)=f(m)となる(m,n)を求めればよい。 であるから、 f(x)はxeで単調減少。 従って、f(m)=f(n)である…

本文と無関係なブログタイトルって見るたびに謎だったんだけど腑に落ちた。

(2) n人で席替えをすることを考える。全員が異なる席へ移る確率をP(n)とする時、lim(n→∞)P(n)を求めよ。— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2015, 12月 10 席替えはいったん全員が席から立ち、一人ずつランダムに空いている席に座るとしてよい。 k番目に…

のってぃーちゃんのツイートが可愛かったので

のってぃーのっとちゃん*1(@knottyknot)のRTで自作数学問題bot(@mathquestionakt)の存在を知った。 解答もある。【定期ツイ】 このbotの全問題の解説を掲載しているサイトがあるのでこちらも参考にしてみてください。(このアカウントの管理人とは別の人のサ…

東大2010年前期理系問題1

3辺の長さがととの直方体を,長さがの1辺を回転軸として90°回転させるとき,直方体が通過する点全体がつくる立体をとする. (1)の体積をを用いて表せ. (2)のとき,の体積のとりうる値の範囲を求めよ. (1) 長さがの1辺に垂直な平面で切った図形は,半径,中…

東大2001年前期文系問題1

白石180個と黒石181個の合わせて361個の碁石が横に一列に並んでいる. 碁石がどのように並んでいても,次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも1つあることを示せ. その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと,残りは白石と黒石が同数となる. ただし…

東大2000年前期理系問題1

AB=AC, BC=2 の直角二等辺三角形ABCの各辺に接し,ひとつの軸が辺BCに平行な楕円の面積の最大値を求めよ. 適当なを選び,この図形をBC方向に倍,BCと垂直方向に倍すれば楕円が円に移るようにする. この円をOとおくと,Oの面積はもとの楕円の面積に等しい.…

東大1999年前期理系問題5

(1)を自然数とする.をとおくとき,を満たすすべての整数について,二項係数は偶数であることを示せ. (2)以下の条件を満たす自然数をすべて求めよ. 条件:を満たすすべての整数について二項係数は奇数である. (1) . よりはで割り切れないのでは偶数. (2)…

東大1997年前期理系問題2

を正の整数,を実数とする.すべての整数に対して が成り立つようなの範囲をを用いて表せ. (左辺)とおく. より. より. これらよりが必要. とおくと, であるから, つまりのときはが成立する. また,のとき,より十分なので,あわせてならば十分. 以…

東大1983年理系問題2

数列において,であり,に対しては,次の条件(1),(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという. (1) は,のどの項とも異なる. (2) のうちから重複なくどのように項を取り出しても,それらの和がに等しくなることはない. このとき,をで表し,その理由…

京大2010年前期理系甲問題3

を正の実数とする.座標平面上の3点A,B,Pをとり,△APBを考える. の値が変化するとき,∠APBの最大値を求めよ. Bから直線に下ろした垂線の足をHとおくとHであり,BHを直径とする円はAを通る. ∠APBが最大となるのは,△APBの外接円の直径が最小となるときで…

京大2009年前期理系甲問題4

ををみたす行列(は実数)とし,正の整数に対して によりを定める.ならばすべてのに対してであることを示せ. とおくとケーリー・ハミルトンの定理より. を右からかけて. ここで,のときと仮定すると, よりのときもが成立する. であるから,数学的帰納法…

京大2006年後期理系問題6(文系問題5)

は有理数か. が有理数であると仮定する. (:整数)と書け,とおくと. これよりなので,であるが, 右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾. つまりは有理数ではない.

京大1995年後期理系問題3

は実数でとする. とおく.をみたすすべてのに対してが成り立つとき, をみたすすべてのに対してが成り立つことを示せ. であるから,の範囲でが極値を持つときにその極値の絶対値が2以下となることを示せば良い. であるから,のとき極値をとる. の範囲で…

京大1993年後期理系問題4

は正の定数とする.不等式がすべての正の数について成り立つという. このときはどのようなものか. のとき等号が成立する. とおくとであり. のときであり,この左辺のの極限を取るとこれはに等しい. つまり. のとき同様の変形をしての極限をとって. 以…

京大1991年前期理系問題4

実数に対し次の不等式の成り立つことを示せ. であり相乗平均≦相加平均なので(与式左辺)≦(与式右辺)…①. の加法定理より …② より両辺の分子分母ともに正. (与式左辺)>(与式中辺)と仮定すると,(②の左辺分母) 従って(与式左辺)≦(与式中辺)であり,(②の左辺分…

京大1990年前期理系問題2

三角形ABCにおいて,∠B=60°,Bの対辺の長さは整数,他の2辺の長さはいずれも素数である. このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ. ∠A=60°のとき三角形ABCは正三角形である. ∠Aとなる. 三角不等式よりなのでは素数と互いに素. 余弦定理よりつまりで…

京大1986理系問題1

すべては0でない個の実数があり, かつを満たすとき, が成り立つことを証明せよ. のときであるから,. これより,を満たすが存在し,. 従って. 等号成立はのときで,このときよりとなり全て0となるので題意を満たさない.

京大1984年理系問題5

つぼの中に個()の赤球と,個()の白球が入っている. AとBの2人が,交互に球を1個ずつとり出し,先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする. ただし,とり出した球は,もとにもどさないものとする. (1) ちょうど回目(すなわちA,B2人のとり出し…

京大1984年理系問題2

定数に対して,等式が全てのについて成り立つとき,関数は周期関数であるといい, またこの等式を満たすような正の数のうちの最小値をの周期という. 次の関数は周期関数であるか否かを,理由をつけて答えよ.また,周期関数である場合には,その周期を求め…

京大1884年理系問題3

実数の値によって定まる点PとQがある. (1) がすべての実数を動くとき,直線PQが通過する範囲を図示せよ. (2) が区間を動くとき,線分PQが通過する範囲の面積を求めよ. (1) 直線PQは傾きであり点Pを通るので. とおくと,が実数解を持つことが直線PQが点を…

京大1983年理系問題5

平面上に動点P,Qがある.Qは時刻0のとき点にあり,速さ1で軸上を正の向きに進む. 他方Pは時刻0のとき点にあり,速さ1で軸上を正の向きに進み, ある時刻で向きを変え,速さをに変更してQに到達するように直進するものとする. 時刻から到達する時刻までの時…

京大1982年理系問題6

関数について,次の問に答えよ. (1) のとき,であることを示せ. (2) が最大および最小となるの値をそれぞれ求めよ. …① また,「のとき,のとき」…②. (1) とする. ②より また,でもあるから. これと①より. (2) でであるから,のとき最大. (1)の結果よ…

京大1981年文系問題2

を有理数とし,次の関係をもつを座標にもつ平面上の点を考える; いま,がともに有理数で,かつは原点でないとする. このとき,すべてのは有理数であり,点は原点を中心とする定円上にあることを示せ. …① …②である. (①+②×)÷よりであるから, が有理数なら…

京大1981年理系問題3

は定数,は一つの自然数とする. のとき,つねにであるならば,であることを示せ. とおく. のとき,であるから, . 同様にのときより示された.

京大1979年文理共通問題4

2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり,大きい目を出した方を勝ちとすることにした. ただし,このサイコロは必ずしも正しいものではなく,の目の出る確率はである(). このとき (1)引き分けになる確率を求めよ. (2)であることを示せ.また,ならば,である…

京大1979年文理共通問題2

とする. すべてのに対してが成り立つように,定数を定めよ. とおくと. 従ってなので. ここで,ある定数が存在しと書ける. より. 両辺の最大値はそれぞれであり,両者は等しいので. とあわせて. このときを満たすにはであることが必要十分なので (:整…

京大1978年文理共通問題1

を正の数とするとき,不等式 を証明せよ.また,等号が成立するのはどんな場合か. (右辺)-(左辺). なぜなら,中辺の括弧内はの相加平均から相乗平均を引いたものであるから. 等号成立はのとき.

京大1977年文系問題6

であるような△において,辺の三等分点をとる().このとき, (1) ととの大小関係をしらべよ. (2) ととの大小関係をしらべよ. (1) とおく. より (2) を底辺と考えると△と△の面積は等しいので,. より. △を考えると,よりは鈍角ではない. これより も鈍角…

京大1975年理系問題2

(1) のときを示せ. (2) を示せ(は自然数). (1) 相加平均と相乗平均の関係より. (2) であるから, .

京大1975年文系問題6

が実数でのとき,数列をによって定義する. このとき (1) をとで表わせ. (2) を求めよ. (1) とおくと,. これよりであるから. (2) .

京大1975年文理共通問題3

がこの順に等差数列であり,がこの順に等比数列であるときはどのようなときか. 条件より,である. なので. つまり (. 従って がこの順に公差の等差数列であることが必要だが, このときとなりがこの順に等比数列となるので十分.

京大1974年理系問題1

であって であるという.との値を求めよ. とおく. を三頂点とする三角形は重心と外心がいずれも原点であり一致するから正三角形. これよりとのなす角はであるからより. 同様にであるからそれぞれ加えて となるがよりのみ適する. つまり.

京大1974年文理共通問題4

がの多項式で,次の三条件をみたすものとする.およびを求めよ. (イ). (ロ)はで割り切れる. (ハ)は次式で,の係数は1, の係数は0である. (ロ)よりとおける(は定数). を両辺で積分すると, (イ)より (は積分定数). 従って. となるので (ハ)より. 以上よ…

京大1973年理系問題4

を求めよ. (与式) .

京大1973年文系問題5

において,とし,この関数のグラフは点(1,1)および(3,5)を通るものとする. このときの最小値を最大にするようなの値を求めよ. が最小値を持つことから. 点(1,1)および(3,5)を通るから, より. 従ってより最小値はである. より相加平均と相乗平均の関係か…