shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

箱庭数学

阪大2024年前期理系問題3文系問題2

2024 大阪大学 前期MathJaxの方向ベクトルをとおく。とは平行ではないのでのなす面の法線ベクトルをとおくと、これはとの両方に直交する直線の方向ベクトルである。このとき、との両方に直交する直線は、とを含む面ととを含む面の両方に含まれる。この2面は…

京大2024年理系問題3

2024 京都大学 前期MathJax「直線QYと直線PXがねじれの位置にある」⇔「点P, Q, X, Yが同一平面上にない」⇔「直線PQと直線XYが交わらず、かつ平行でない」 △APQ∽△AOBよりPQ//OBであるから、PQは平面OBCと平行である。また、点Aは平面OBC上にないので、PQは平…

東大2024年前期理系問題3

2024 東京大学 前期MathJax (1) 略 (2) 最初からk秒後()の位置が、kが偶数のときに点Pと一致し、kが奇数のときにx軸に関して点Pと対称な点であるような点Qを考える。 規則(i), (ii)より、点Qは原点中心で点(2,1)を通る円周上にあるから、点Qを極座標表示した…

東大2024年前期理系問題2

2024 東京大学 前期MathJax (1) と置換すると、となる。 ここで、右辺は平面においてで囲まれた領域の面積である。この面積はに等しい。ただしはの範囲におけるの逆関数である。 この面積がに等しいので、である。求める実数はよりであることに注意して、を…

名古屋大学2007年前期文系問題1

2007 名古屋大学 前期MathJaxBCの中点をMとおく。 であるから、△A'BB'についてメネラウスの定理の逆よりA, A'', Mは共線である。 これより、AA''は△ABCの重心を通る。BB'', CC''についても同様であるから直線AA'', BB'', CC''は△ABCの重心で交わるが、これが…

名古屋大2007年前期文系問題3(b)

2007 名古屋大学 前期MathJax操作1回ごとに玉の数が増えるので、N回引くときの全ての引き方の場合の数は(N+1)!通り。 操作をN回繰り返して赤玉が袋の中にm個あるためには、赤玉をm-1回引く必要があり、赤玉を1回引くごとに赤玉の数が増えるので赤玉の引き方…

名古屋大2007年後期理学部問題3

2007 名古屋大学 後期理学部MathJax [解1] どの2点を通る直線とも垂直にならないように平面上にx軸を取る。各点のx座標の小さい方から順に2点ずつ組にすれば線分は交わらない。[解2] n本の線分の長さの総和を考える。組の作り方は有限なので、長さの総和には…

名古屋大1962年前期理系問題4

とおく。は三次以下の偶関数なのでとおくと、 であるから示された。 存在を示せばいいので求める必要はないが、計算して等号でつないでしまうのが手っ取り早い。試験場だと、線形性からの場合だけ考えれば十分として()を解くのが素直か。 問題の元ネタはGa…

名古屋大1970年前期文理共通問題2

2根をとおく。このときとしてよい。と仮定して矛盾を導く。 根と係数の関係より、与えられた条件は…(*)である。 これよりであるから、となる。 これを(*)に代入して整理するとであるがこれは仮定に反する。よって示された。

東大2003年前期理系問題6(その4)

以前の記事:その1、その2、その3その1ではMachinの公式とのテイラー展開を用いた解法を紹介したが、この系公式を用いてを手計算で下から評価するならもっとよい方法がある。 それが円周率.jp - arctan系公式に載っているEulerの方法である。 詳細はリン…

一橋大2022年前期問題5

問題文 大学入試数学問題集成 > 2022 一橋大学 前期MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth > 1000){ const iframe = document.getElementById('problem'); iframe.height = '300px'; }}()); 1回目は箱を無作為に選ぶので、である。(1) 回目に…

京大2023年前期理系問題6

(1) . . (2) ある正の整数が存在し、となるとき、 . 辺々にをかけて、 . さらに辺々をで割って、 . したがって、となるのでだが、これはが奇素数ということに反する。 よって、となるような正の整数は存在しない。 (1)のような問題の答え方は難しい。「3倍角…

東大2023年前期問題1

(1) 略 (2) 、 であるから、 (1)の結果よりとなる。 からまでの和をとり、辺々をで割ると である。 のとき左辺、右辺ともにに収束するので、はさみうちの原理により求める極限の値もこの値に等しい。

東工大2023年前期問題1

(与式)である。 さて、は下に凸なので、における接線は接点をのぞき下側にある。つまり(等号成立は)。 これより、のときとなるから、 (与式)。 ただし、よりであることを用いた。 以上より求める整数部分はである。 は断りなく使うのがちょっと気になったの…

名古屋市立大1966年

を正の整数とする。このとき (1)がととの間にあることを示せ。 (2)はとのどちらに近いか。*1 である。 (1) であり、であるから、はとの加重平均である。 は無理数でありやとは一致しないので、ととの間にある。 (2) であるから、はに近い。 これのバージョン…

東京帝大1924年理学部物理学科問題1

問題文 大学入試数学問題集成 > 1924 東京帝国大学 理学部物理学科MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth > 1000){ const iframe = document.getElementById('problem'); iframe.height = '110px'; }}()); この解答だとは0.0008以下でよいが、…

京大2001年文系問題4

(1)と(2)、どちらのほうが"解きやすい"ですか? pic.twitter.com/StPsOOYsEi— Ryohei Saito (@saitory) 2022年9月15日 (i) のとき (ii) かつ、()が全てと同符号もしくは0のとき (iii)かつ、と異符号であるようなが存在するとき (i)(ii)(iii)より示された。…

一橋大2017年前期問題2

問題文 大学入試数学問題集成 > 2017 一橋大学 前期MathJax とおくと、はの解である。ここで、は与えられた式を満たさないのでは相異なる整数解を2つ以上もつ。このとき、の範囲ではは単調増加なので、絶対値が以下となる整数解が少なくとも一つ存在する。(…

一橋大1990年後期問題2

問題文 大学入試数学問題集成 > 1990 一橋大学 後期MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth の両辺に右からをかけてとなる。ここでは不適なのでである。これより、である。の成分が整数であるからであるが、よりとなる。従ってであり、また、な…

京大2018年前期理系問題3

問題文 大学入試数学問題集成 > 2018 京都大学 前期MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth 正弦定理よりであるから、トレミーの定理よりとなる。相加平均と相乗平均の関係より…(☆)である。 以下、等号が成立するようなが存在することを示す。 …

京大1991年前期理系問題3(文系問題3)

の頂点をとおく。の中点をそれぞれとおく。中点連結定理より、、、であるから、四角形は長方形である。長方形の対角線の交点はの中点であるからこれはの重心であり、この点からまでの距離は等しい。同様に、の中点までの距離もこれらに等しいことがいえるの…

京大1986年理系問題4

(1) の外心をとおく。 を満たすようにをとると、の外心はである。つまり、はを中心とする半径1の円周上にある。 ここで、である。これよりはの中点であるからを中心とする半径1の円周上または内部に存在する。すなわちであり、についても同様。 (2) の外心を…

東工大2017年前期問題2

とおく。被積分関数をとおく。より、よりであるから、最大値はの範囲で求めればよい。 とおくと、()よりは広義単調増加なので、のとき、よりである。 従って、であるから、最大値はとなる。は周期の周期関数である。はを一周期分積分した値であるからの値…

東工大1999年後期問題1

であり、 となる。 より、 ここで、第一項の被積分関数は、積分区間の範囲で絶対値が1以下なのでであるからはさみうちの原理により第一項は0に収束する。第二項も同様。第三項の被積分関数も積分区間の範囲で絶対値が1以下で、となるから第三項も0に収束する…

東大1993年後期問題2

xy平面で直線Lと点Aの距離をd(L,A)。相異なる3点A,B,Cが与えられた時f(L)= d(L,A) ^2+d(L,B)^2+ d(L,C) ^2とおく。(中略)2)異なる3本の直線がf(L)を最小にするなら△ABCは正三角形であることを示せ。(93東大後期・理) #数学— 数学問題bot (@mathe…

東大1995年前期理系問題2

f(x)=1-sin(x)に対し、g(x)=∫[0,x](x-t)f(t)dtとおく。このとき任意の実数x,yについてg(x+y)+g(x-y)≧2g(x)が成り立つことを示せ。(95東大理系) #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2022年8月4日 としてよい。 平均値の定理より、 を満たすが存在す…

京大1993年後期文系問題4

を展開したときのの係数を()とおく。 であるから、()である。 ここで、であり、()であるから、、、 、 であり、これが求める係数である。 [2023. 7. 2追記] とする。のの係数はである。 であり、 とおくと、であるから、 となる。 したがって求める係…

京大1991年後期理系問題5

(1) とは一対一対応するので、。従って。(2) となる確率をとする。のとき、なので。 従って。 これと(1)より。(3) とが一対一対応するので、。

京大2005年後期理系問題3

とおく。 である。 これよりであり、この式の値はによらない。 、であるから、 が奇数のとき、、 が偶数のとき、 となる。 を上の解答と同じように定める。 とおくと、である。 これより、となる。 よってであるから。 従って、 が奇数のとき、、 が偶数のと…

京大2003年後期理系問題1

との重心が一致するので、 ⇔ ここで、辺ABと垂直な単位ベクトルに対し、、、であるから、となる。同様にが言えるので示された。