shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東大1997年前期理系問題2

を正の整数,を実数とする.すべての整数に対して が成り立つようなの範囲をを用いて表せ. 左辺をとおく. より. より. これらよりが必要. とおくと, であるから, つまりのときはが成立する. また,のとき,より十分なので,あわせてならば十分. 以…

東大1983年理系問題2

数列において,であり,に対しては,次の条件(1),(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという. (1) は,のどの項とも異なる. (2) のうちから重複なくどのように項を取り出しても,それらの和がに等しくなることはない. このとき,をで表し,その理由…

京大2010年前期理系甲問題3

を正の実数とする.座標平面上の3点A,B,Pをとり,△APBを考える. の値が変化するとき,∠APBの最大値を求めよ. Bから直線に下ろした垂線の足をHとおくとHであり,BHを直径とする円はAを通る. ∠APBが最大となるのは,△APBの外接円の直径が最小となるときで…

京大2009年前期理系甲問題4

ををみたす行列(は実数)とし,正の整数に対して によりを定める.ならばすべてのに対してであることを示せ. とおくとケーリー・ハミルトンの定理より. を右からかけて. ここで,のときと仮定すると, よりのときもが成立する. であるから,数学的帰納法…

京大2006年後期理系問題6(文系問題5)

は有理数か. が有理数であると仮定する. (:整数)と書け,とおくと. これよりなので,であるが, 右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾. つまりは有理数ではない.

京大1995年後期理系問題3

は実数でとする. とおく.をみたすすべてのに対してが成り立つとき, をみたすすべてのに対してが成り立つことを示せ. であるから,の範囲でが極値を持つときにその極値の絶対値が2以下となることを示せば良い. であるから,のとき極値をとる. の範囲で…

京大1993年後期理系問題4

は正の定数とする.不等式がすべての正の数について成り立つという. このときはどのようなものか. のとき等号が成立する. とおくとであり. のときであり,この左辺のの極限を取るとこれはに等しい. つまり. のとき同様の変形をしての極限をとって. 以…

京大1991年前期理系問題4

実数に対し次の不等式の成り立つことを示せ. であり相乗平均≦相加平均なので(与式左辺)≦(与式右辺)…①. の加法定理より …② より両辺の分子分母ともに正. (与式左辺)>(与式中辺)と仮定すると,(②の左辺分母) 従って(与式左辺)≦(与式中辺)であるから同様に(…

京大1990年前期理系問題2

三角形ABCにおいて,∠B=60°,Bの対辺の長さは整数,他の2辺の長さはいずれも素数である. このとき三角形ABCは正三角形であることを示せ. ∠A=60°のとき三角形ABCは正三角形である. ∠Aとなる. 三角不等式よりなのでは素数と互いに素. 余弦定理よりつまりで…

京大1986理系問題1

すべては0でない個の実数があり, かつを満たすとき, が成り立つことを証明せよ. のときであるから,. これより,を満たすが存在し,. 従って. 等号成立はのときで,このときよりとなり全て0となるので題意を満たさない.

京大1984年理系問題5

つぼの中に個()の赤球と,個()の白球が入っている. AとBの2人が,交互に球を1個ずつとり出し,先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする. ただし,とり出した球は,もとにもどさないものとする. (1) ちょうど回目(すなわちA,B2人のとり出し…

京大1984年理系問題2

定数に対して,等式が全てのについて成り立つとき,関数は周期関数であるといい, またこの等式を満たすような正の数のうちの最小値をの周期という. 次の関数は周期関数であるか否かを,理由をつけて答えよ.また,周期関数である場合には,その周期を求め…

京大1884年理系問題3

実数の値によって定まる点PとQがある. (1) がすべての実数を動くとき,直線PQが通過する範囲を図示せよ. (2) が区間を動くとき,線分PQが通過する範囲の面積を求めよ. (1) 直線PQは傾きであり点Pを通るので. とおくと,が実数解を持つことが直線PQが点を…

京大1983年理系問題5

平面上に動点P,Qがある.Qは時刻0のとき点にあり,速さ1で軸上を正の向きに進む. 他方Pは時刻0のとき点にあり,速さ1で軸上を正の向きに進み, ある時刻で向きを変え,速さをに変更してQに到達するように直進するものとする. 時刻から到達する時刻までの時…

京大1982年理系問題6

関数について,次の問に答えよ. (1) のとき,であることを示せ. (2) が最大および最小となるの値をそれぞれ求めよ. …① また,「のとき,のとき」…②. (1) とする. ②より また,でもあるから. これと①より. (2) でであるから,のとき最大. (1)の結果よ…

京大1981年文系問題2

を有理数とし,次の関係をもつを座標にもつ平面上の点を考える; いま,がともに有理数で,かつは原点でないとする. このとき,すべてのは有理数であり,点は原点を中心とする定円上にあることを示せ. …① …②である. (①+②×)÷よりであるから, が有理数なら…

京大1981年理系問題3

は定数,は一つの自然数とする. のとき,つねにであるならば,であることを示せ. とおく. のとき,であるから, . 同様にのときより示された.

京大1979年文理共通問題4

2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり,大きい目を出した方を勝ちとすることにした. ただし,このサイコロは必ずしも正しいものではなく,の目の出る確率はである(). このとき (1)引き分けになる確率を求めよ. (2)であることを示せ.また,ならば,である…

京大1979年文理共通問題2

とする. すべてのに対してが成り立つように,定数を定めよ. とおくと. 従ってなので. ここで,ある定数が存在しと書ける. より. 両辺の最大値はそれぞれであり,両者は等しいので. とあわせて. このときを満たすにはであることが必要十分なので (:整…

京大1978年文理共通問題1

を正の数とするとき,不等式 を証明せよ.また,等号が成立するのはどんな場合か. (右辺)-(左辺). なぜなら,中辺の括弧内はの相加平均から相乗平均を引いたものであるから. 等号成立はのとき.

京大1977年文系問題6

であるような△において,辺の三等分点をとる().このとき, (1) ととの大小関係をしらべよ. (2) ととの大小関係をしらべよ. (1) とおく. より (2) を底辺と考えると△と△の面積は等しいので,. より. △を考えると,よりは鈍角ではない. これより も鈍角…

京大1975年理系問題2

(1) のときを示せ. (2) を示せ(は自然数). (1) 相加平均と相乗平均の関係より. (2) であるから, .

京大1975年文系問題6

が実数でのとき,数列をによって定義する. このとき (1) をとで表わせ. (2) を求めよ. (1) とおくと,. これよりであるから. (2) .

京大1975年文理共通問題3

がこの順に等差数列であり,がこの順に等比数列であるときはどのようなときか. 条件より,である. なので. つまり (. 従って がこの順に公差の等差数列であることが必要だが, このときとなりがこの順に等比数列となるので十分.

京大1974年理系問題1

であって であるという.との値を求めよ. とおく. を三頂点とする三角形は重心と外心がいずれも原点であり一致するから正三角形. これよりとのなす角はであるからより. 同様にであるからそれぞれ加えて となるがよりのみ適する. つまり.

京大1974年文理共通問題4

がの多項式で,次の三条件をみたすものとする.およびを求めよ. (イ). (ロ)はで割り切れる. (ハ)は次式で,の係数は1, の係数は0である. (ロ)よりとおける(は定数). を両辺で積分すると, (イ)より (は積分定数). 従って. となるので (ハ)より. 以上よ…

京大1973年理系問題4

を求めよ. (与式) .

京大1973年文系問題5

において,とし,この関数のグラフは点(1,1)および(3,5)を通るものとする. このときの最小値を最大にするようなの値を求めよ. が最小値を持つことから. 点(1,1)および(3,5)を通るから, より. 従ってより最小値はである. より相加平均と相乗平均の関係か…

京大1973年文理共通問題2

は実数とする.3次方程式において, 一根が1で,他の二根はその絶対値がいずれも1であるための必要十分条件を求めよ. 他の二根をそれぞれとおく. 根と係数の関係よりであるから. (i)のとき とおくと,であるから となるので,. 逆にのとき,であり, の判…

京大1972年理系問題6

枚のカードがあり,それぞれのカードにはという数字が記入されている. これをよく混ぜて無作為(任意)に 1 枚のカードを取り出すとき,それに記入された数の期待値(平均値)をとする. また,同時に2枚のカードを取り出すとき,記入された 2 数の和の期待…