を正の整数とする。このとき (1)がととの間にあることを示せ。 (2)はとのどちらに近いか。*1 である。 (1) であり、であるから、はとの加重平均である。 は無理数でありやとは一致しないので、ととの間にある。 (2) であるから、はに近い。 これのバージョン…
問題文 大学入試数学問題集成 > 1924 東京帝国大学 理学部物理学科MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth > 1000){ const iframe = document.getElementById('problem'); iframe.height = '110px'; }}()); この解答だとは0.0008以下でよいが、…
twitterで話題になっていたこともあり、鈴木董[編]『帝国の崩壊』を少し読んだ。 ヒクソスというのは大学でも講義しますが、民族の名前でも何でもありません。ヒクソス自身がアジア系の支配者の尊称として自称したもので、「異国の支配者」という意味のヒエ…
(1)と(2)、どちらのほうが"解きやすい"ですか？ pic.twitter.com/StPsOOYsEi— Ryohei Saito (@saitory) 2022年9月15日 (i) のとき (ii) かつ、（）が全てと同符号もしくは0のとき (iii)かつ、と異符号であるようなが存在するとき (i)(ii)(iii)より示された。…
問題文 大学入試数学問題集成 > 2017 一橋大学 前期MathJax とおくと、はの解である。ここで、は与えられた式を満たさないのでは相異なる整数解を2つ以上もつ。このとき、の範囲ではは単調増加なので、絶対値が以下となる整数解が少なくとも一つ存在する。（…
問題文 大学入試数学問題集成 > 1990 一橋大学 後期MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth の両辺に右からをかけてとなる。ここでは不適なのでである。これより、である。の成分が整数であるからであるが、よりとなる。従ってであり、また、な…
問題文 大学入試数学問題集成 > 2018 京都大学 前期MathJax (function (){ if(document.body.scrollWidth 正弦定理よりであるから、トレミーの定理よりとなる。相加平均と相乗平均の関係より…(☆)である。 以下、等号が成立するようなが存在することを示す。 …
の頂点をとおく。の中点をそれぞれとおく。中点連結定理より、、、であるから、四角形は長方形である。長方形の対角線の交点はの中点であるからこれはの重心であり、この点からまでの距離は等しい。同様に、の中点までの距離もこれらに等しいことがいえるの…
(1) の外心をとおく。 を満たすようにをとると、の外心はである。つまり、はを中心とする半径1の円周上にある。 ここで、である。これよりはの中点であるからを中心とする半径1の円周上または内部に存在する。すなわちであり、についても同様。 (2) の外心を…
とおく。被積分関数をとおく。より、よりであるから、最大値はの範囲で求めればよい。 とおくと、（）よりは広義単調増加なので、のとき、よりである。 従って、であるから、最大値はとなる。は周期の周期関数である。はを一周期分積分した値であるからの値…
であり、 となる。 より、 ここで、第一項の被積分関数は、積分区間の範囲で絶対値が1以下なのでであるからはさみうちの原理により第一項は0に収束する。第二項も同様。第三項の被積分関数も積分区間の範囲で絶対値が1以下で、となるから第三項も0に収束する…
xy平面で直線Lと点Aの距離をd(L,A)。相異なる３点A,B,Cが与えられた時f(L)= d(L,A) ^2＋d(L,B)^2＋ d(L,C) ^2とおく。（中略）２）異なる３本の直線がf(L)を最小にするなら△ABCは正三角形であることを示せ。（９３東大後期・理） #数学— 数学問題bot (@mathe…
f(x)=1-sin(x)に対し、g(x)=∫[0,x](x-t)f(t)dtとおく。このとき任意の実数x,yについてg(x＋y)＋g(x-y)≧2g(x)が成り立つことを示せ。（９５東大理系） #数学— 数学問題bot (@mathematics_bot) 2022年8月4日 としてよい。 平均値の定理より、 を満たすが存在す…
を展開したときのの係数を（）とおく。 であるから、（）である。 ここで、であり、（）であるから、、、 、 であり、これが求める係数である。 [2023. 7. 2追記] とする。のの係数はである。 であり、 とおくと、であるから、 となる。 したがって求める係…
(1) とは一対一対応するので、。従って。(2) となる確率をとする。のとき、なので。 従って。 これと(1)より。(3) とが一対一対応するので、。
とおく。 である。 これよりであり、この式の値はによらない。 、であるから、 が奇数のとき、、 が偶数のとき、 となる。 を上の解答と同じように定める。 とおくと、である。 これより、となる。 よってであるから。 従って、 が奇数のとき、、 が偶数のと…
との重心が一致するので、 ⇔ ここで、辺ABと垂直な単位ベクトルに対し、、、であるから、となる。同様にが言えるので示された。
、と定義する。 「すべてのについてが整数」 ⇔「すべてのについてが整数」（に注意） ⇔「すべてのについてが整数、（）が整数」 ⇔「すべてのについてが整数、（）が整数」 ⇔「（）が整数」（は高々0次なので定数であることに注意） ここで、とおくと、 ここ…
より、両辺をで割ったを示せばよい。 より、相加平均と相乗平均の関係からなので示された。
(1) 略(2),(3) 定義よりであり、と定義する。 ここで、命題：「を満たす整数がただ一通り存在する」を、についての帰納法で示す。 は確かになりたつ。ある整数以下のについての成立を仮定すると、 であるから、帰納法の仮定よりが成り立つ。 よって数学的帰…
(2) ただし （は整数、）とおく。 よりである。 のとき、 これとより の場合、それぞれなので同様に求まる。 まとめると以下の通り。
問題略 （は定数）とおく。となることを示せばよい。 任意の正整数に対しは整数なので、も整数である。 平均値の定理より、を満たすが存在し、である。 よって、、であるから、十分大きなnに対してよりとなる。 ここで、はいずれも正なので、。
アンケートです。皆さんはどうやって解きますか？ pic.twitter.com/cptqjUAelT— 齋藤涼平 (@saitory) 2022年7月28日 3以上の任意の整数について、。 よっては任意の整数で割り切れる整数であるが、そのような整数は0のみである。すなわち。 は整数係数三次多…
出版当時の状況が分からないのでこの本をどのように評価してよいか困惑する。当時の知識がどうであったかを考慮に入れねば科学的内容に限ったとしても正当な評価とは言えまいし、そもそも扇動的な筆致の本書の意義は内容の正確性などよりもそれが与えた影響…
が奇素数のときであることを示す。 以下、で考える。 がの倍数となる…(*)。 ここで、あるについてであるから、をで割った余りの分布は独立かつ一様である。 (i) のとき (*)はと同値であり、そのようになる確率は。 (ii) のとき であるから、とは互いに素。よ…
ヒッタイトの製鉄 東部アナトリア高原に定住したヒッタイト人 Hittites は、馬に引かせた戦車と鉄製の武器を用いた強力な軍事力で先住民族を征服した。『詳説世界史研究』p. 19. 前12世紀初期には系統不明の「海の民」の襲来によって滅亡した。それとともに…
エトルリア人の起源 古代イタリア人の定住以前に、半島には非インド＝ヨーロッパ語系の先住民が住んでいた。なかでも重要なのが、半島中部から北部のエトルリア地方に住んでいたエトルリア人 Etrusci であった。『詳説世界史研究』p. 51. エトルリア人の起源…
■今週の写経ピックアップ うさ太郎さんは電験の問題を写経している（えらい）電験の過去問を4問写経した(電線のたるみ)(えらい)— うさ太郎 (@_usataro_) 2022年4月1日 電線のたるみ、謎の公式— しゃいたん (@faogr) 2022年4月1日 カテナリーなのは分かってる…
問題略 とおく。 直線が曲線と相異なる3点で交わる が相異なる3実解を持つ このとき、直線と曲線はいずれも原点対称であるから、これらが囲む2つの部分の面積は等しい。 従って、の通過する領域に含まれる点は条件(ii)を満たす。 領域はを満たす領域と原点の…
エウクレイデス エウクレイデス Eukleides（前300頃）は今日「ユークリッド幾何学」とよばれる平面幾何学を集大成し、『詳説世界史研究』p. 50 エウクレイデスは工学、天文学、音楽、力学、円錐曲線に至るまでの様々な専門書を著している。*1 彼のもっとも偉…
