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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1970年文系問題4

次の6つの条件をみたすx, y, zのうち,zを最小にするx,y,zの値を求めよ.
a>2, \frac1x+\frac1y=1, x>1, 1< z<2, xz\geq a, yz\geq 2

xz\geq aおよび1< xより\frac1x\leq \frac za,
yz\geq 2および1< zよりy>0であり\frac1y\leq \frac z2.
これらを足して1=\frac1x+\frac1y\leq z(\frac1a+\frac12).
zが最小となるのは等号が成立するとき.
このとき\frac1z=\frac1a+\frac12であり,\frac12<\frac1a+\frac12<1より1< z<2
よってx=\frac az=\frac a2+1(>1), y=\frac2z=\frac2a+1, z=\frac{2a}{2+a}が求めるx,y,zである.