shaitan's blog

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京大1970年理系問題5

関数F(x)=\displaystyle\int_0^xt\sin^3t\mathrm dtの極大値を求めよ.ただし,x>0とする.

F'(x)=x\sin^3xであり,極大となるのはこの符号が+から-に変化する点なので,極大値を取るのはx=n\pi\quad (n:奇数)のとき.
tn\pi-tに変数変換すると,極大値はF(n\pi)=\displaystyle\int_0^{n\pi}t\sin^3t\mathrm dt=\int_0^{n\pi}(n\pi-t)\sin^3t\mathrm dtであるから,中辺と右辺の平均をとって
F(n\pi)=\displaystyle\frac{n\pi}2\int_0^{n\pi}\sin^3t\mathrm dt=\frac{n\pi}2\int_{-1}^1(1-\cos^2t)\mathrm d(\cos t)=\frac{2n\pi}3