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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1971年文理共通問題2

\alpha,\beta複素数で,\alphaの絶対値は1とする.このとき
z+\alpha\bar z +\beta=0
を満足する複素数zがあるための必要十分条件\alpha\bar\beta=\betaであることを示せ.
ここに\bar z,\bar\betaはそれぞれz, \betaの共役複素数を表す.

(i)必要性
z+\alpha\bar z +\beta=0のとき,共役をとって\alphaを掛けると,\alpha\bar\alpha=1より\alpha\bar z +z+\alpha\bar\beta=0
これらの式を比較して\alpha\bar\beta=\beta
(ii)十分性
\alpha\bar\beta=\betaのとき,z=-\frac\beta2とおくと,
z+\alpha\bar z +\beta=-\frac\beta2-\frac{\alpha\bar\beta}2+\beta=0.

(i)(ii)より示された.