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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1972年理系問題6

n枚のカードがあり,それぞれのカードにはa_1, a_2,\ldots,a_nという数字が記入されている.
これをよく混ぜて無作為(任意)に 1 枚のカードを取り出すとき,それに記入された数の期待値(平均値)をEとする.
また,同時に2枚のカードを取り出すとき,記入された 2 数の和の期待値(平均値)をF とすれば,F = 2Eとなることを示せ.(n\geq 2)

無作為に一枚取り出し,戻して再度1枚取り出す操作を考える.和の期待値は2E
ここで,2回目に1回目と同じものが出るか否かで場合分けをする.出る場合の期待値は2E,出ない場合の期待値はFに等しい.
2回目に1回目と同じものが出る確率をpとすると,2E=p2E+(1-p)Fであるがn\geq 2のときp<1よりF=2E