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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1973年文系問題5

箱庭数学
y=f(x)=ax^2+bx+cにおいて,f(0)>0とし,この関数のグラフは点(1,1)および(3,5)を通るものとする.
このときf(x)の最小値を最大にするようなa,b,cの値を求めよ.

f(x)が最小値を持つことからa>0
点(1,1)および(3,5)を通るから1=f(1)=a+b+c, 5=f(3)=9a+3b+cよりb=-4a+2, c=3a-1
従ってf(x)=a(x-2+\frac1a)^2+3-a-\frac1aより最小値は3-a-\frac1aである.
a>0より相加平均と相乗平均の関係から3-a-\frac1a\leq 3-2\sqrt{a\cdot\frac1a}=1となるが,
f(x)の最小値が最大となるのは等号成立のときすなわちa=1.このとき(a,b,c)=(1,-2,2)