京大1973年文系問題5

において，とし，この関数のグラフは点(1,1)および(3,5)を通るものとする．
このときの最小値を最大にするようなの値を求めよ．

$f(x)$ が最小値を持つことから $a>0$ ．
点(1,1)および(3,5)を通るから $1=f(1)=a+b+c$ , $5=f(3)=9a+3b+c$ より $b=-4a+2, c=3a-1$ ．
従って $f(x)=a(x-2+\frac1a)^2+3-a-\frac1a$ より最小値は $3-a-\frac1a$ である．
$a>0$ より相加平均と相乗平均の関係から $3-a-\frac1a\leq 3-2\sqrt{a\cdot\frac1a}=1$ となるが，
$f(x)$ の最小値が最大となるのは等号成立のときすなわち $a=1$ ．このとき $(a,b,c)=(1,-2,2)$ ．

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長文書きたいときに使う．

京大1973年文系問題5