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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1974年文理共通問題4

F(x), g(x)x多項式で,次の三条件をみたすものとする.F(x)およびg(x)を求めよ.
(イ)\dfrac{\mathrm dF(x)}{\mathrm dx}=g(x).
(ロ)F(x)g(x)で割り切れる.
(ハ)g(x)n次式で,x^nの係数は1, x^{n-1}の係数は0である.

(ロ)よりF(x)=(ax+b)g(x)とおける(a,bは定数).
\dfrac{g(x)}{F(x)}=\dfrac1{ax+b}を両辺x積分すると,
(イ)より\log F(x)=\dfrac1a\log\left(x+\dfrac ba\right)+C (C積分定数).
従ってF(x)=e^C\left(x+\dfrac ba\right)^{\frac1a}.
g(x)=\dfrac{\mathrm dF(x)}{\mathrm dx}=\dfrac{e^C}a\left(x+\dfrac{b}a\right)^{\frac1a-1}となるので
(ハ)より\dfrac1a-1=n, \dfrac{e^C}a=1, \dfrac{b}a=0
以上よりF(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, g(x)=x^n.