京大1974年文理共通問題4

がの多項式で，次の三条件をみたすものとする．およびを求めよ．
(イ).
(ロ)はで割り切れる．
(ハ)は次式で，の係数は1, の係数は0である．

(ロ)より $F(x)=(ax+b)g(x)$ とおける( $a,b$ は定数)．
$\dfrac{g(x)}{F(x)}=\dfrac1{ax+b}$ を両辺 $x$ で積分すると，
(イ)より $\log F(x)=\dfrac1a\log\left(x+\dfrac ba\right)+C$ ( $C$ は積分定数)．
従って $F(x)=e^C\left(x+\dfrac ba\right)^{\frac1a}$ .
$g(x)=\dfrac{\mathrm dF(x)}{\mathrm dx}=\dfrac{e^C}a\left(x+\dfrac{b}a\right)^{\frac1a-1}$ となるので
(ハ)より $\dfrac1a-1=n, \dfrac{e^C}a=1, \dfrac{b}a=0$ ．
以上より $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, g(x)=x^n$ .

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京大1974年文理共通問題4