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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1974年理系問題1

0\leq\alpha<\beta<\gamma<2\piであって
\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0, \sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=0
であるという.\beta-\alpha\gamma-\betaの値を求めよ.

\vec{a}=(\cos\alpha, \sin\alpha), \vec{b}=(\cos\beta, \sin\beta), \vec{c}=(\cos\gamma, \sin\gamma)とおく.
\vec{a},\vec{b},\vec{c}を三頂点とする三角形は重心と外心がいずれも原点であり一致するから正三角形.
これより\vec{a}\vec{b}のなす角は\dfrac{2\pi}3であるから\alpha<\betaより\beta-\alpha=\dfrac{2\pi}3, \dfrac{4\pi}3
同様に\gamma-\beta=\dfrac{2\pi}3, \dfrac{4\pi}3であるからそれぞれ加えて
\gamma-\alpha=\dfrac{4\pi}3, 2\pi, \dfrac{8\pi}3となるが0\leq\alpha<\gamma<2\piより\dfrac{4\pi}3のみ適する.
つまり\beta-\alpha=\gamma-\beta=\dfrac{2\pi}3