読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1975年文理共通問題3

箱庭数学
\alpha,\beta,\gammaがこの順に等差数列であり,\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gammaがこの順に等比数列であるときはどのようなときか.

条件より\alpha+\gamma=2\beta\sin\alpha\sin\gamma=\sin^2\betaである.
1-\cos(2\beta)=2\sin^2\beta=2\sin\alpha\sin\gamma=\cos(\alpha-\gamma)-\cos(\alpha+\gamma)=\cos(\alpha-\gamma)-\cos(2\beta)なので\cos(\alpha-\gamma)=1
つまり\alpha-\gamma=2n\pi (n:整数)
従って \alpha,\beta,\gammaがこの順に公差n\piの等差数列であることが必要だが,
このとき\sin\alpha=\pm\sin\beta=\sin\gammaとなり\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gammaがこの順に等比数列となるので十分.