京大1975年文理共通問題3

がこの順に等差数列であり，がこの順に等比数列であるときはどのようなときか．

条件より $\alpha+\gamma=2\beta$ ， $\sin\alpha\sin\gamma=\sin^2\beta$ である．
$1-\cos(2\beta)=2\sin^2\beta=2\sin\alpha\sin\gamma=\cos(\alpha-\gamma)-\cos(\alpha+\gamma)=\cos(\alpha-\gamma)-\cos(2\beta)$ なので $\cos(\alpha-\gamma)=1$ ．
つまり $\alpha-\gamma=2n\pi$ ( $n:整数)$ ．
従って $\alpha,\beta,\gamma$ がこの順に公差 $n\pi$ の等差数列であることが必要だが，
このとき $\sin\alpha=\pm\sin\beta=\sin\gamma$ となり $\sin\alpha,\sin\beta,\sin\gamma$ がこの順に等比数列となるので十分．

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長文書きたいときに使う．

京大1975年文理共通問題3