shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1975年文系問題6

aが実数でa<1のとき,数列x_0,x_1,\ldots,x_n,\ldotsx_0=a, x_n=\dfrac1{2-x_{n-1}}\quad(n=1,2,3,\ldots)によって定義する.
このとき
(1) x_nnaで表わせ.
(2) \displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\left(x_n-1+\frac1n\right)を求めよ.

(1)
y_n=\dfrac1{1-x_n}とおくと,y_n=\left(1-\dfrac1{2-x_{n-1}}\right)^{-1}=\dfrac1{1-x_{n-1}}+1=y_{n-1}+1
これよりy_n=\dfrac1{1-a}+nであるからx_n=1-\dfrac1{y_n}=1-\dfrac{1-a}{1+(1-a)n}=\dfrac{a+(1-a)n}{1+(1-a)n}.
(2)
\displaystyle\lim_{n\to\infty}n^2\left(x_n-1+\frac1n\right)=\lim_{n\to\infty}n^2\left(-\frac1{y_n}+\frac1n\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2y_0}{n(n+y_0)}=y_0=\dfrac1{1-a}.