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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1975年理系問題2

箱庭数学
(1) x\geq0のとき\sqrt x\leq\dfrac12(x+1)を示せ.
(2) \displaystyle\int_0^k\sqrt x\left(1-\frac xk\right)^k\mathrm dx<1を示せ(k自然数).

(1)
相加平均と相乗平均の関係より\sqrt x=\sqrt{x\cdot1}\leq\dfrac12(x+1)
(2)
\sqrt x\leq\dfrac12(x+1)=\dfrac12\left[(k+1)-k\left(1-\dfrac xk\right)\right]であるから,
\phantom=\displaystyle\int_0^k\sqrt x\left(1-\frac xk\right)^k\mathrm dx
\displaystyle\leq\frac12\int_0^k\left[(k+1)\left(1-\frac xk\right)^k-k\left(1-\frac xk\right)^{k+1}\right]\mathrm dx
\displaystyle=\frac12\left[-k\left(1-\frac xk\right)^{k+1}+\frac {k^2}{k+2}\left(1-\frac xk\right)^{k+2}\right]_0^k
=\dfrac k{k+2}
<1.