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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1979年文理共通問題2

箱庭数学
f(x)=1+2\cos x+3\sin xとする.
すべてのxに対してaf(x)+bf(x-c)=1が成り立つように,定数a,b,cを定めよ.

g(x)=af(x)+bf(x-c)-1とおくとg(x)=0
従って0=g''(x)+g(x)=a+b-1なのでa+b=1
ここで,ある定数\thetaが存在し2\cos x+3\sin x=\sqrt{13}\sin(x+\theta)と書ける.
g(x)=0よりa\sqrt{13}\sin(x+\theta)=-b\sqrt{13}\sin(x+\theta-c).
両辺の最大値はそれぞれ|a|\sqrt{13},|b|\sqrt{13}であり,両者は等しいので|a|=|b|
a+b=1とあわせてa=b=\dfrac12
このときg(x)=0を満たすには\sin(x+\theta)=-\sin(x+\theta-c)であることが必要十分なのでc=(2n+1)\pi (n:整数).