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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1979年文理共通問題4

2人の人が1つのサイコロを1回ずつふり,大きい目を出した方を勝ちとすることにした.
ただし,このサイコロは必ずしも正しいものではなく,kの目の出る確率はp_kである(k=1,2,3,4,5,6).
このとき
(1)引き分けになる確率Pを求めよ.
(2)P\geq\dfrac16であることを示せ.また,P=\dfrac16ならば,p_k=\dfrac16である(k=1,2,3,4,5,6)ことを示せ.

(1)
引き分けになるのは2人が同じ目を出した場合で,2人がともにkの目をだす確率はp_k^2であるから,
P=\displaystyle\sum_{k=1}^6p_k^2
(2)
\displaystyle\sum_{k=1}^6p_k=1なので,
0\leq\displaystyle\sum_{k=1}^6\left(p_k-\frac16\right)^2=\sum_{k=1}^6p_k^2-2\sum_{k=1}^6\frac{p_k}6+\sum_{k=1}^6\left(\frac16\right)^2=P-\frac16
従ってP\geq\dfrac16で等号成立はp_k=\dfrac16(k=1,2,3,4,5,6)となる.