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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1981年理系問題3

箱庭数学
kは定数,mは一つの自然数とする.
x>0のとき,つねにx^m-1\leq k(x^{m+1}-1)であるならば,k=\dfrac m{m+1}であることを示せ.

f(x)=x^{\frac m{m+1}}とおく.
x>1のとき,\dfrac{x^m-1}{x^{m+1}-1}\leq kであるから,
\displaystyle k\geq\lim_{x^{m+1}\to 1+0}\frac{x^m-1}{x^{m+1}-1}=f'(1)=\frac m{m+1}
同様にx<1のときk\leq\dfrac m{m+1}より示された.