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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1981年文系問題2

p有理数とし,次の関係をもつx_n,y_nを座標にもつ平面上の点P_n\quad(n=1,2,\ldots)を考える;
x_{n+1}=x_n+p(y_{n+1}+y_n), y_{n+1}=y_n-p(x_{n+1}+x_n)
いま,x_1,y_1がともに有理数で,かつP_1は原点でないとする.
このとき,すべてのx_n,y_n有理数であり,点P_nは原点を中心とする定円上にあることを示せ.

x_{n+1}-py_{n+1}=x_n+py_n…① y_{n+1}+px_{n+1}=y_n-px_n…②である.
(①+②×p(1+p^2)よりx_{n+1}=\dfrac{x_n+py_n+p(y_n-px_n)}{1+p^2}であるから,
x_k,y_k有理数ならばx_{k+1}有理数.更に②よりy_{k+1}有理数となる.
x_1,y_1有理数なので,数学的帰納法によりすべてのx_n,y_n有理数

①と②の両辺を平方して和を取ると(1+p^2)(x_{n+1}^2+y_{n+1}^2)=(1+p^2)(x_n^2+y_n^2)であるから,すべてのx_n^2+y_n^2=OP_n^2は等しい.
P_1は原点ではないから,点P_nは原点を中心とする定円上にある.