京大1981年文系問題2

を有理数とし，次の関係をもつを座標にもつ平面上の点を考える;

いま，がともに有理数で，かつは原点でないとする．
このとき，すべてのは有理数であり，点は原点を中心とする定円上にあることを示せ．

$x_{n+1}-py_{n+1}=x_n+py_n$ …① $y_{n+1}+px_{n+1}=y_n-px_n$ …②である．
(①+②× $p$ )÷ $(1+p^2)$ より $x_{n+1}=\dfrac{x_n+py_n+p(y_n-px_n)}{1+p^2}$ であるから，
$x_k,y_k$ が有理数ならば $x_{k+1}$ も有理数．更に②より $y_{k+1}$ も有理数となる．
$x_1,y_1$ が有理数なので，数学的帰納法によりすべての $x_n,y_n$ は有理数．