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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1982年理系問題6

関数f(x)=\displaystyle\int_x^{x+1}te^{-|t|}\mathrm dtについて,次の問に答えよ.
(1) -1\leq x\leq0のとき,f(-1)\leq f(x)\leq f(0)であることを示せ.
(2) f(x)が最大および最小となるxの値をそれぞれ求めよ.

f(x)=\displaystyle\int_{-x}^{-x-1}(-t)e^{-|t|}(-\mathrm dt)=-f(-x-1)…①
また,「t<0のときte^{-|t|}<0t>0のときte^{-|t|}>0」…②.
(1)
-1\leq x\leq0とする.
②よりf(x)\leq \displaystyle\int_0^{x+1}te^{-|t|}\mathrm dt \leq \int_0^1te^{-|t|}\mathrm dt=f(0)
また,-1\leq -x-1\leq0でもあるからf(-x-1)\leq f(0)
これと①よりf(-1)=-f(0)\leq -f(-x-1)=f(x)
(2)
x\geq0f'(x)=(x+1)e^{-(x+1)}-xe^{-x}=(x+1-ex)e^{-(x+1)}であるから,x=\dfrac1{e-1}のとき最大.
(1)の結果より-1\leq x\leq 0のときf(x)\leq f(0)< f\left(\dfrac1{e-1}\right)
②よりx<-1のときf(x)<0< f\left(\dfrac1{e-1}\right)
以上よりf(x)x=\dfrac1{e-1}のとき最大.
0< f\left(\dfrac1{e-1}\right)なので,①よりf(x)が最小となるのは-x-1=\dfrac1{e-1},つまりx=-\dfrac e{e-1}のとき.