京大1982年理系問題6

関数について，次の問に答えよ．
(1) のとき，であることを示せ．
(2) が最大および最小となるの値をそれぞれ求めよ．

$f(x)=\displaystyle\int_{-x}^{-x-1}(-t)e^{-|t|}(-\mathrm dt)=-f(-x-1)$ …①
また，「 $t<0$ のとき $te^{-|t|}<0$ ， $t>0$ のとき $te^{-|t|}>0$ 」…②．
(1)
$-1\leq x\leq0$ とする．
②より $f(x)\leq \displaystyle\int_0^{x+1}te^{-|t|}\mathrm dt \leq \int_0^1te^{-|t|}\mathrm dt=f(0)$
また， $-1\leq -x-1\leq0$ でもあるから $f(-x-1)\leq f(0)$ ．
これと①より $f(-1)=-f(0)\leq -f(-x-1)=f(x)$ ．
(2)
$x\geq0$ で $f'(x)=(x+1)e^{-(x+1)}-xe^{-x}=(x+1-ex)e^{-(x+1)}$ であるから， $x=\dfrac1{e-1}$ のとき最大．
(1)の結果より $-1\leq x\leq 0$ のとき $f(x)\leq f(0)< f\left(\dfrac1{e-1}\right)$ ，
②より $x<-1$ のとき $f(x)<0< f\left(\dfrac1{e-1}\right)$ ．
以上より $f(x)$ は $x=\dfrac1{e-1}$ のとき最大．
$0< f\left(\dfrac1{e-1}\right)$ なので，①より $f(x)$ が最小となるのは $-x-1=\dfrac1{e-1}$ ，つまり $x=-\dfrac e{e-1}$ のとき．

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長文書きたいときに使う．

京大1982年理系問題6