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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1983年理系問題5

箱庭数学
xy平面上に動点P,Qがある.Qは時刻0のとき点(0,-b)にあり(b>0),速さ1でy軸上を正の向きに進む.
他方Pは時刻0のとき点(-a,0)にあり(a>0),速さ1でx軸上を正の向きに進み,
ある時刻t\quad(t\geq0)で向きを変え,速さを\sqrt2に変更してQに到達するように直進するものとする.
時刻tから到達する時刻までの時間が最小になるようなtを求めよ.ただし0< a< bとする.

Pが向きを変えた後に進む方向の単位ベクトルを(\cos\theta,\sin\theta),時刻t+sにPがQに到達するとおく.
|t-a|=|\sqrt2s\cos\theta|, |t-b|=|s-\sqrt2s\sin\theta|であり,両辺の和を取ると
|t-a|+|t-b|=|\sqrt2s\cos\theta|+|s-\sqrt2s\sin\theta|=s(|\sqrt2\cos\theta|+|1-\sqrt2\sin\theta|)
ここで,右辺括弧内をf(\theta)とおき,これが最大になる\thetaを考える.
\sin\theta\geq 0のときf(-\theta)\geq f(\theta)であるから\pi\leq\theta\leq 2\piの範囲を考えればよく,
このときf(\theta)=\sqrt2(|\cos\theta|-\sin\theta)+1
この右辺括弧内が最大となるのは\theta=\dfrac54\pi,\dfrac74\piのとき.
この条件は|t-a|=s, |t-b|=2s…①と同値.
また,a\leq t\leq bのとき|t-a|+|t-b|=b-aとなるが,t< a, b< tのとき|t-a|+|t-b|>b-aなので
|t-a|+|t-b|が最小となるのはa\leq t\leq bのとき.
この条件はt-a>0, t-b<0…②と同値.
①,②が成立するとき,t-a=s, t-b=-2sなのでt=\dfrac{2a+b}3
このときf(\theta)が最大となり|t-a|+|t-b|が最小となるからsは最小となる.