shaitan's blog

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京大1884年理系問題3

実数tの値によって定まる点P(t+1,t)とQ(t-1,-t)がある.
(1) tがすべての実数を動くとき,直線PQが通過する範囲を図示せよ.
(2) tが区間[0,1]=\{t|0\leq t\leq 1\}を動くとき,線分PQが通過する範囲の面積を求めよ.

(1)
直線PQは傾き\dfrac{t-(-t)}{(t+1)-(t-1)}=tであり点Pを通るのでy=tx-t^2
f(t)=t^2-xt+yとおくと,f(t)=0が実数解を持つことが直線PQが点(x:y)を通過する条件.
判別式D=x^2-4y\geq0よりy=\dfrac{x^2}4の下側の部分(境界を含む).(図は省略)
(2)
A(1,0), B(2,1),C(-1,0), D(0,-1)とおくと,Pは線分AB上,Qは線分CD上にある.
線分AB上の点は直線CDの上側にあるのでPQが通過する範囲は直線CDおよびその上側,つまりy\geq -x-1
線分CD上の点は直線AB上かその上側にあるのでPQが通過する範囲は直線ABおよびその上側,つまりy\geq x-1…☆.
面積を求めるべき範囲に点(x,y)が含まれるにはf(t)=00\leq t\leq 1で解をもつことが必要.
(i)0<\dfrac x2<1のとき
f\left(\dfrac x2\right)\leq0であり☆よりf(1)\geq0だから0\leq t\leq 1で解を持つ.
(ii)\dfrac x2\leq0, 1\dfrac x2のとき
f(0)f(1)\leq0ならば良いが,☆よりf(1)\geq0だからf(1)=0またはf(0)\leq0
以上を合わせて,x\leq0では-x-1\leq y\leq0(△OCDの周および内部),x>0ではx-1\leq y\leq\dfrac{x^2}4
従って求める面積は
\displaystyle\frac12+\int_0^2\left[\frac{x^2}4-(x-1)\right]\mathrm dx=\frac76.