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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1984年理系問題2

定数c\quad(c\neq0)に対して,等式f(x+c)=f(x)が全てのxについて成り立つとき,関数f(x)は周期関数であるといい,
またこの等式を満たすような正の数cのうちの最小値をf(x)の周期という.
次の関数は周期関数であるか否かを,理由をつけて答えよ.また,周期関数である場合には,その周期を求めよ.
(1) f(x)=\sin(\sin x)
(2) f(x)=\cos(\sin x)
(3) f(x)=\sin(x^3)

(1)
f(x+2\pi)=\sin(\sin x)=f(x)…①であるからこれは周期関数.
-1\leq\sin x\leq1であり,\sin t-1\leq t\leq 1で単調増加であるから,
f(x)を最大にするx\sin x=1となるx,つまりx=\left(\dfrac12+2n\right)\pi (n:整数).
周期をCとおくと,x=\dfrac\pi2+Cでもf(x)が最大となるから,C=2n\piと書けることが必要なのでC\geq2\pi
①とあわせて周期は2\pi
(2)
f(x+\pi)=\cos(-\sin x)=f(x)…②であるからこれは周期関数.
-1\leq\sin x\leq1であり,\cos t-1\leq t\leq 1の範囲で最大値1をとる(t=0).
f(x)を最大にするx\sin x=0となるx,つまりx=n\pi (n:整数).
周期をCとおくと,x=Cでもf(x)が最大となるから,C=n\piと書けることが必要なのでC\geq\pi
②とあわせて周期は\pi
(3)
f(x)が周期Cを持つと仮定する.
定義よりf(C)=0なのでC^3\piの正整数倍.
0\leq x< Cの範囲でf(x)=0となるxの数は\dfrac{C^3}{\pi}個.
C\leq x< 2Cの範囲でf(x)=0となるxの数は\dfrac{7C^3}{\pi}個.
これらより,f(x)\neq0かつf(x+C)=0なるxが存在するので矛盾.
従ってf(x)は周期関数ではない.