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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1984年理系問題5

つぼの中にr個(r\geq1)の赤球と,s個(s\geq0)の白球が入っている.
AとBの2人が,交互に球を1個ずつとり出し,先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする.
ただし,とり出した球は,もとにもどさないものとする.
(1) ちょうどi回目(すなわちA,B2人のとり出した球の合計が,ちょうどi個になった時)に勝者が
きまる確率をP_iとするとき,P_i\geq P_{i+1}\quad(i=1, 2,\ldots)となることを示せ.
(2) このゲームをAからはじめるとする.任意のr,sに対して,Aが勝者となる確率は,\frac12またはそれ
以上であることを示せ.
また,Aが勝者となる確率が\frac12となるための,rsの条件を求めよ.

(1)
勝敗にかかわらずi+1回球を取り出すことを考える.
i回目に赤,i+1回目に白が出る確率とi回目に白,i+1回目に赤が出る確率は等しく,これをaとおき,
i回目とi+1回目にともに赤が出る確率をbとおき,i回目までに赤が出ない確率をcとおく.
すると,P_i=(a+b)c\geq ac=P_{i+1}
(2)
(Aが勝者となる確率)-(Bが勝者となる確率)\displaystyle=\sum_{i=1}^{r+s}P_i(-1)^{i-1}\geq\sum_{k=1}^{[\frac{r+s}2]}(P_{2k-1}-P_{2k})\geq0…☆
引き分けは存在しないので,(Aが勝者となる確率)\geq\dfrac12
また,☆の右の不等号の等号成立条件は(1)よりb=0つまりr=1
左の不等号のそれはr+sが偶数であること,つまりsが奇数であること.