つぼの中に個()の赤球と,個()の白球が入っている. AとBの2人が,交互に球を1個ずつとり出し,先に赤球をとり出した者を勝者とするゲームをする. ただし,とり出した球は,もとにもどさないものとする. (1) ちょうど回目(すなわちA,B2人のとり出した球の合計が,ちょうど個になった時)に勝者が きまる確率をとするとき,となることを示せ. (2) このゲームをAからはじめるとする.任意のに対して,Aが勝者となる確率は,またはそれ 以上であることを示せ. また,Aが勝者となる確率がとなるための,との条件を求めよ.
(1)
勝敗にかかわらず回球を取り出すことを考える.
回目に赤,回目に白が出る確率と回目に白,回目に赤が出る確率は等しく,これをとおき,
回目と回目にともに赤が出る確率をとおき,回目までに赤が出ない確率をとおく.
すると,
(2)
(Aが勝者となる確率)-(Bが勝者となる確率)…☆
引き分けは存在しないので,(Aが勝者となる確率).
また,☆の右の不等号の等号成立条件は(1)よりつまり.
左の不等号のそれはが偶数であること,つまりが奇数であること.