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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1986理系問題1

箱庭数学
すべては0でないn個の実数a_1, a_2,\ldots,a_nがあり,
a_1\leq a_2\leq \cdots\leq a_nかつa_1+ a_2+ \cdots+ a_n=0を満たすとき,
a_1+ 2a_2+ \cdots+ na_n>0が成り立つことを証明せよ.

i\leq jのときa_i\leq a_jであるから,na_1\leq\displaystyle\sum_{i=1}^na_i=0\leq na_n
これより,a_k\leq 0\leq a_{k+1}を満たすkが存在し,(i-k)a_i\geq 0
従って\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i=\sum_{i=1}^n(i-k)a_i\geq0
等号成立はa_i=0\quad(i\neq k)のときで,このとき\displaystyle\sum_{i=1}^na_i=0よりa_k=0となり全て0となるので題意を満たさない.