のときであるから,.
これより,を満たすが存在し,.
従って.
等号が成立すると仮定するとよりよりが全て0となり不適.
よって等号は不成立なので.
[2022.11.25 追記]
次の置換を考える。は、が恒等置換のとき最大となることを示す。
が恒等置換でないとき、となるが存在するが、このとき、であるから、はを最大にしない。は高々有限なので最大値を与えるが存在するがそれは恒等置換である。
これより、。
等号成立は任意のについてのときであるが、このときが全て0となり不適。よって示された。
大学入試だと「並べ替え不等式より」の一言で済まして良いか分からなかったので証明をしている。
[2022.11.25 追記2]
等号成立にはが必要であり、このときが全て0となり不適。よって示された。
[2022.11.25 追記3]
であり、等号成立はが全て0のときなのでである。
数学的帰納法で示す。
のときより成り立つ。
のときの成立を仮定する。のとき、と定義すると、帰納法の仮定より
となりのときも成立する。
以上より示された。
[2022.11.25 追記4]
からまでの平均値を、からまでの平均値をとおく。問題の条件より、であるからとなる(のときもこの不等式は成立する)。
であり、等号成立は のとき。このとき 、となりすべて0なので不適。
[2022.11.26 追記]
である。なぜなら左辺はの小さくない方に重みのついている加重平均であり、右辺は相加平均だからである。
よって
等号成立にはが必要であり、このときが全て0となり不適。よって示された。