shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1986理系問題1


i\leq jのときa_i\leq a_jであるから,na_1\leq\displaystyle\sum_{i=1}^na_i=0\leq na_n
これより,a_k\leq 0\leq a_{k+1}を満たすkが存在し,(i-k)a_i\geq 0
従って\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i=\sum_{i=1}^n(i-k)a_i\geq0
等号が成立すると仮定するとa_i=0\quad(i\neq k)よりa_k=\displaystyle-\sum_{i\neq k}a_i=0よりa_1, a_2,\ldots,a_nが全て0となり不適.
よって等号は不成立なのでa_1+ 2a_2+ \cdots+ na_n>0.



[2022.11.25 追記]
n次の置換\sigmaを考える。S(\sigma)=\sum_{i=1}^n\sigma(i)a_iは、\sigmaが恒等置換のとき最大となることを示す。
\sigmaが恒等置換でないとき、\sigma(i)>\sigma(j)となるi< jが存在するが、このとき、 \left[\sigma(j)a_i+\sigma(i)a_j\right]- \left[\sigma(i)a_i+\sigma(j)a_j\right]=\left[\sigma(i)-\sigma(j)\right]\left[a_j-a_i\right]\geq0であるから、\sigmaS(\sigma)を最大にしない。\sigmaは高々有限なので最大値を与える\sigmaが存在するがそれは恒等置換である。
これより、\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i\geq\dfrac1{n!}\sum_\sigma S(\sigma)=\sum_{i=1}^na_i=0
等号成立は任意のi, jについてa_i=a_jのときであるが、このときa_1, a_2,\ldots,a_nが全て0となり不適。よって示された。


大学入試だと「並べ替え不等式より」の一言で済まして良いか分からなかったので証明をしている。



[2022.11.25 追記2]
\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i=\sum_{i=1}^nia_i-\left(\dfrac{n+1}2\right)\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^n\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i\displaystyle=\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i+\sum_{i=\lceil n/2\rceil+1}^n\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(i-\dfrac{n+1}2\right)a_i+\sum_{j=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(\dfrac{n+1}2-j\right)a_{n+1-j}=\displaystyle\sum_{i=1}^{\lfloor n/2\rfloor}\left(\dfrac{n+1}2-i\right)\left(a_{n+1-i}-a_i\right)\geq0
等号成立にはa_n=a_1が必要であり、このときa_1, a_2,\ldots,a_nが全て0となり不適。よって示された。



[2022.11.25 追記3]
0=\displaystyle\sum_{i=1}^na_i\leq na_nであり、等号成立はa_1, a_2,\ldots,a_nが全て0のときなのでa_n>0である。
数学的帰納法で示す。
n=2のときa_1+2a_2=a_2>0より成り立つ。
n=kのときの成立を仮定する。n=k+1のとき、b_i=\begin{cases}a_i & i< k\\a_k+a_{k+1}&i=k\end{cases}と定義すると、帰納法の仮定より
\displaystyle\sum_{i=1}^{k+1}ia_i=\sum_{i=1}^{k}ib_i+a_{k+1}>0となりn=k+1のときも成立する。
以上より示された。



[2022.11.25 追記4]
a_1からa_kまでの平均値をm_ka_{k+1}からa_nまでの平均値をM_kとおく。問題の条件よりm_k\leq M_kkm_k+(n-k)M_k=0であるからM_k\geq0となる(k=0のときもこの不等式は成立する)。
\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i=\sum_{k=0}^{n-1}(n-k)M_k\geq0であり、等号成立はM_k=0 (0\leq k\leq n-1)のとき。このときa_j=(n-j+1)M_{j-1}-(n-j)M_j=0 (1\leq j\leq n-1)a_n=M_{n-1}=0となりすべて0なので不適。



[2022.11.26 追記]
\dfrac{ia_i+ja_j}{i+j}\geq\dfrac{a_i+a_j}2である。なぜなら左辺はa_i, a_jの小さくない方に重みのついている加重平均であり、右辺は相加平均だからである。
よって\displaystyle\sum_{i=1}^nia_i\displaystyle=\dfrac12\sum_{i=1}^n\left[ia_i+(n+1-i)a_{n+1-i}\right]\displaystyle\geq\dfrac12\sum_{i=1}^n\dfrac{n+1}2(a_i+a_{n+1-i})\displaystyle=\dfrac{n+1}2\sum_{i=1}^na_i=0
等号成立にはa_n=a_1が必要であり、このときa_1, a_2,\ldots,a_nが全て0となり不適。よって示された。