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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大1993年後期理系問題4

aは正の定数とする.不等式a^x\geq axがすべての正の数xについて成り立つという.
このときaはどのようなものか.

x=1のとき等号が成立する.
f(x)=a^xとおくとf'(x)=(\log a)a^xでありf'(1)=a\log a
x>1のとき\dfrac{a^x-a}{x-1}\geq\dfrac{ax-a}{x-1}= aであり,この左辺のx\to 1+0の極限を取るとこれはf'(1)に等しい.
つまりa\log a\geq a
x<1のとき同様の変形をしてx\to1-0の極限をとってa\log a\leq a
以上よりa=e