京大1993年後期理系問題4

は正の定数とする．不等式がすべての正の数について成り立つという．
このときはどのようなものか．

$x=1$ のとき等号が成立する．
$f(x)=a^x$ とおくと $f'(x)=(\log a)a^x$ であり $f'(1)=a\log a$ ．
$x>1$ のとき $\dfrac{a^x-a}{x-1}\geq\dfrac{ax-a}{x-1}= a$ であり，この左辺の $x\to 1+0$ の極限を取るとこれは $f'(1)$ に等しい．
つまり $a\log a\geq a$ ．
$x<1$ のとき同様の変形をして $x\to1-0$ の極限をとって $a\log a\leq a$ ．
以上より $a=e$ ．

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長文書きたいときに使う．

京大1993年後期理系問題4