shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

2014-06-22

京大2006年後期理系問題6(文系問題5)

は有理数か．

$\tan1^\circ$ が有理数であると仮定する．
$\tan1^\circ=\dfrac mn$ ( $m,\ n$ :整数)と書け， $z=n+mi$ とおくと $\arg z=1^\circ$ .
これより $\arg z^{60}=60^\circ$ なので， $\sqrt3=\tan60^\circ = \dfrac{\mathop{\rm Im}z^{60}}{\mathop{\rm Re}z^{60}}$ であるが，
右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾．
つまり $\tan1^\circ$ は有理数ではない．