shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大2006年後期理系問題6(文系問題5)

\tan1^\circ有理数か.

\tan1^\circ有理数であると仮定する.
\tan1^\circ=\dfrac mn (m,\ n:整数)と書け,z=n+miとおくと\arg z=1^\circ.
これより\arg z^{60}=60^\circなので,\sqrt3=\tan60^\circ = \dfrac{\mathop{\rm Re}z^{60}}{\mathop{\rm Im}z^{60}}であるが,
右辺は分子分母ともに整数であるから有理数となり矛盾.
つまり\tan1^\circ有理数ではない.