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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大2009年前期理系甲問題4

箱庭数学
A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}ad-bc=1をみたす行列(a,\ b,\ c,\ dは実数)とし,正の整数nに対して
\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\quad\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}
によりx_n,\ y_nを定める.x_2^2+y_2^2=x_3^2+y_3^2=1ならばすべてのnに対してx_n^2+y_n^2=1であることを示せ.

a+d=tとおくとケーリー・ハミルトンの定理よりA^2=tA-E
\vec{r_n}=\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}を右からかけて\vec{r_{n+2}}=t\vec{r_{n+1}}-\vec{r_n}
ここで,n< k+3のとき|\vec{r_n}|^2=1と仮定すると,
|\vec{r_{k+3}}|^2=|t\vec{r_{k+2}}-\vec{r_{k+1}}|^2=(t^2+1)-2t\vec{r_{k+2}}\cdot\vec{r_{k+1}}=|t\vec{r_{k+1}}-\vec{r_{k+2}}|^2=|\vec{r_k}|^2=1よりn= k+3のときも|\vec{r_n}|^2=1が成立する.
|\vec{r_1}|^2=|\vec{r_2}|^2=|\vec{r_3}|^2=1であるから,数学的帰納法により全てのnについて|\vec{r_n}|^2=1より示された.