東大1983年理系問題2

数列において，であり，に対しては，次の条件(1)，(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという．
(1) は，のどの項とも異なる．
(2) のうちから重複なくどのように項を取り出しても，それらの和がに等しくなることはない．
このとき，をで表し，その理由を述べよ．

$a_2=2$ は偶数である．
ある $k>1$ が存在し， $a_i\quad(1< i< k)$ が偶数で $a_k$ が奇数であると仮定する．
$a_k-1$ は偶数なので， $a_2,\ldots,\ a_{k-1}$ から項を重複なく取り出した和として表せるが，これに $a_1$ を加えると $a_k$ になり矛盾．
従って $a_i\quad(i>1)$ は偶数．
ここで数列 $\left\{\dfrac{a_{n+1}}2\right\}$ を考えると，これは $a_n$ と同じ条件を満たす．
このような数列は一意であるから $\dfrac{a_{n+1}}2=a_n$ ． $a_1=1$ より $a_n=2^{n-1}$ ．

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東大1983年理系問題2