読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東大1983年理系問題2

数列\{a_n\}において,a_1=1であり,n\geq2に対してa_nは,次の条件(1),(2)をみたす自然数のうち最小のものであるという.
(1) a_nは,a_1,\ldots,\ a_{n-1}のどの項とも異なる.
(2) a_1,\ldots,\ a_{n-1}のうちから重複なくどのように項を取り出しても,それらの和がa_nに等しくなることはない.
このとき,a_nnで表し,その理由を述べよ.

a_2=2は偶数である.
あるk>1が存在し,a_i\quad(1< i< k)が偶数でa_kが奇数であると仮定する.
a_k-1は偶数なので,a_2,\ldots,\ a_{k-1}から項を重複なく取り出した和として表せるが,これにa_1を加えるとa_kになり矛盾.
従ってa_i\quad(i>1)は偶数.
ここで数列\left\{\dfrac{a_{n+1}}2\right\}を考えると,これはa_nと同じ条件を満たす.
このような数列は一意であるから\dfrac{a_{n+1}}2=a_na_1=1よりa_n=2^{n-1}