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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東大1997年前期理系問題2

箱庭数学 数学問題bot
nを正の整数,aを実数とする.すべての整数mに対して
m^2-(a-1)m+\dfrac{n^2}{2n+1}a>0
が成り立つようなaの範囲をnを用いて表せ.

f(m)=(左辺)とおく.
0< f(0)=\dfrac{n^2}{2n+1}aより0< a
0< f(n)=(n^2+n)\left(1-\dfrac a{2n+1}\right)よりa<2n+1
これらより0< a<2n+1が必要.
k=\dfrac{a-1}2とおくと,
f(m)=(m-k)^2-k^2+\dfrac{n^2}{2n+1}(2k+1)=(m-k)^2+\dfrac{(n+k+2nk)(n-k)}{2n+1}であるから,
0< k< nつまり1< a<2n+1のときはf(m)>0が成立する.
また,0< a\leq1のとき,f(m)\geq f(0)>0より十分なので,あわせて0< a<2n+1ならば十分.
以上より求めるaの範囲は0< a<2n+1