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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東大1999年前期理系問題5

(1)k自然数とする.mm=2^kとおくとき,0< n< mを満たすすべての整数nについて,二項係数\def\C#1#2{{}_{\vphantom{#2}#1}\mathrm C_{\vphantom{#1}#2}}\C mnは偶数であることを示せ.
(2)以下の条件を満たす自然数mをすべて求めよ.
条件:0\leq n\leq mを満たすすべての整数nについて二項係数\C mnは奇数である.

(1)
n\cdot\C{2^k}n=2^k\cdot\C{2^k-1}{n-1}.
0< n<2^kよりn2^kで割り切れないので\C{2^k}nは偶数.
(2)
自然数kについて,\C{2^k-1}{n-1}+\C{2^k-1}n=\C{2^k}n\quad(0< n<2^k)および(1)の結果より\C{2^k-1}nの偶奇はnによらず等しく,\C{2^k-1}0=1であるから全て奇数.よってm=2^k-1と書けるmは条件を満たす.
また,m=2^k-1と書けないとき,適当なkをとって2^k< m+1<2^{k+1}が成り立つようにできる.
ここで(m+1)\cdot\C m{2^k-1}=2^k\cdot\C{m+1}{2^k}より\C m{2^k-1}は偶数なのでmは条件を満たさない.
以上より求めるmm=2^k-1(k:自然数).