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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東大2000年前期理系問題1

AB=AC, BC=2 の直角二等辺三角形ABCの各辺に接し,ひとつの軸が辺BCに平行な楕円の面積の最大値を求めよ.

適当なkを選び,この図形をBC方向にk倍,BCと垂直方向に\dfrac1k倍すれば楕円が円に移るようにする.
この円をOとおくと,Oの面積はもとの楕円の面積に等しい.
この変換で△ABCは円Oを内接円とする二等辺三角形Tに移り,Tの面積は△ABCの面積つまり1に等しい.
Oの半径r,Tの周長をsとおくと\dfrac{rs}2=1
Tの三辺の長さをx,y,zとおくと,ヘロンの公式と相乗平均≦相加平均より1=\dfrac{\sqrt{s(s-2x)(s-2y)(s-2z)}}{4}\leq\dfrac{\sqrt s}4\cdot\sqrt{\left(\dfrac s3\right)^3}= \dfrac{s^2}{12\sqrt3}=\dfrac1{3\sqrt3r^2}.
等号成立はx=y=zのときで,このとき最初に施した変換と逆の変換を施せば確かに題意を満たす楕円が存在する.
従って求める面積の最大値は\pi r^2の最大値に等しく,\dfrac\pi{3\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}9\pi