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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東大2010年前期理系問題1

箱庭数学 数学問題bot
3辺の長さがabcの直方体を,長さがbの1辺を回転軸として90°回転させるとき,直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする.
(1)Vの体積をa,\ b,\ cを用いて表せ.
(2)a+b+c=1のとき,Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ.

(1)
長さがbの1辺に垂直な平面で切った図形は,半径\sqrt{a^2+c^2},中心角\dfrac\pi2の扇型にa,\ cを隣辺とする直角三角形を2つつけたものであるから,面積は\dfrac\pi4(a^2+c^2)+ac
従ってVの体積はb\left\{\dfrac\pi4(a^2+c^2)+ac\right\}.
(2)
a+c=x,\ |a-c|=yとおくと0\leq y< x<1であり,体積W(x,y)W(x,y)=(1-x)\left\{\dfrac\pi8(x^2+y^2)+\dfrac{x^2-y^2}4\right\}
\pi>2よりy^2の係数は正であるからW(x,y)< W(x,x)
相乗平均≦相加平均の関係より,W(x,x)=\pi(1-x)\left(\dfrac x2\right)^2\leq\pi\left\{\dfrac{(1-x)+\frac x2+\frac x2}3\right\}^3=\dfrac\pi{27}であり,等号成立はx=\dfrac23
W(x,y)は体積であり0でないことと合わせて0< W(x,y)<\dfrac\pi{27}…☆が必要.
ここで,W(x,y)x,\ yに関して連続であり,W(0,0)=0,\ W(\frac23, \frac23)=\frac\pi{27}であるからW(x,y)は☆の範囲の任意の値をとりうる.