のってぃーのっとちゃん*1(@knottyknot)のRTで自作数学問題bot(@mathquestionakt)の存在を知った。
解答もある。
【定期ツイ】
このbotの全問題の解説を掲載しているサイトがあるのでこちらも参考にしてみてください。(このアカウントの管理人とは別の人のサイトです)
https://t.co/Su7Gbjn4of
https://t.co/gX7cuMg0Du
— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2015, 12月 7
ということなので、別解を考えることにします。
(1)
自然数nについて、n!がn桁になるとき、nの値として考えられる値を全て求めよ。
— 自作数学問題bot (@mathquestionakt) 2015, 12月 6
とおく。
f(1)=1であり、n>1でより、
n<10でf(n)< f(n-1)、n≧10でf(n)≧f(n-1)。
従って1以外に1≦f(n)<10を満たすnは連続する数となる。
さて、22!を評価する(註1)。
であり、
なので、。
さらに、であるから、。
ここで、である(註2)から、。
よって、
また、。
今度は下から評価する。であり、に注意して、
。
であるから、。
これよりf(22)>1, f(25)=2.5*2.4*2.3*f(22)>2.5*2*2*1=10。
以上を総合して、求めるnは1, 22, 23, 24である。
註1:
なぜ唐突に22なのかということの説明。
問題を見た感じ、結構きつい評価しないといけないっぽいし、なにより底が10なのでめんどくさそう。
というわけでひたすら計算することになるんだろうが、とりあえず見積もる。
Stirlingの公式よりでこれがn-1とnの間ってのが条件。
第一項からnは10eより小さく、このとき第二項は1程度。
ってことは2.7*8=21.6あたりを調べればよさそうだ!
実はStirlingの公式はぐぐったんだけども、さすがにn!が(n/e)^nくらいってことは覚えてる(ln(n!)=Σln(k)≒∫ln(x)dx=n*ln(n)-nなので)し、もうすこしちゃんと評価(lnが下凸なので台形近似でたぶんいける)すれば簡単な計算でそこそこの精度は出せるはず。
註2:
ここでなんか面倒な計算が出てしまって悩ましい。
とでもするのが素直かと思ったが、ここで
より、というのもなかなか楽しげでは?
*1:可愛い