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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

のってぃーちゃんのツイートが可愛かったので

自作数学問題bot 箱庭数学

のってぃーのっとちゃん*1(@knottyknot)のRTで自作数学問題bot(@mathquestionakt)の存在を知った。
解答もある。


ということなので、別解を考えることにします。

{f(n)=\dfrac{n!}{10^{n-1}}}とおく。
f(1)=1であり、{f(n+1)=\dfrac n{10}f(n)}よりn≦10でf(n)は単調減少、n≧10でf(n)は単調増加。
ここで18!=(2*18)(3*17)…(9*11)10<10^17よりf(18)<1であるから、1以外に1≦f(n)<10を満たすnは19以上。
さて、22!を評価する(註1)。
{22!=2^{19}\cdot3^9\cdot5^4\cdot7^3\cdot11^2\cdot13\cdot17\cdot19}であり、
{7^2=49<50=5\cdot10}
{7\cdot11=77<80=2^3\cdot10}
{11\cdot13<12^2=2^4\cdot3^2}
{17\cdot19<18^2=2^2\cdot3^4}
なので、{22!<2^{28}\cdot3^{15}\cdot5^5\cdot10^2=2^{23}\cdot3^{15}\cdot10^7}
さらに、{3^5=243<256=2^8}であるから、{22!<2^{47}\cdot10^7}
ここで、{2^{50}=1.024^5\cdot10^{15}}<1.5\cdot10^{15}である(註2)から、{f(22)<\dfrac{15}8<10}
よって{f(21)=\dfrac{10}{22}f(22)<\dfrac{10\cdot15}{22\cdot8}<1}
また、{f(24)=\dfrac{23}{10}\cdot\dfrac{24}{10}f(22)<\dfrac{23\cdot3\cdot15}{100}<10}
今度は下から評価する。{7\cdot11=77>75=3\cdot5^2}であり、{49=50(1-0.02), 11\cdot13>12^2(1-0.02), 17\cdot19>18^2(1-0.02)}に注意して、
{22!>2^{18}\cdot3^{16}\cdot10^8(1-0.02)^3}
{3^4=81>80=2^3\cdot10}であるから、{22!>2^{30}\cdot10^{12}(1-0.02)^3=\bigl((1+0.024)(1-0.02)\bigr)^3\cdot10^{21}>10^{21}}
これよりf(22)>1, f(25)=2.5*2.4*2.3*f(22)>2.5*2*2*1=10。
以上を総合して、求めるnは1, 22, 23, 24である。

註1:
なぜ唐突に22なのかということの説明。
問題を見た感じ、結構きつい評価しないといけないっぽいし、なにより底が10なのでめんどくさそう。
というわけでひたすら計算することになるんだろうが、とりあえず見積もる。
Stirlingの公式より{\log(n!)\approx n\log\left(\dfrac n e\right)}+\dfrac12\log(2\pi n)でこれがn-1とnの間ってのが条件。
第一項からnは10eより小さく、このとき第二項は1程度。
{\log\left(\dfrac ne\right)\approx\dfrac{n-2}n\approx 0.9\approx\log8}ってことは2.7*8=21.6あたりを調べればよさそうだ!
実はStirlingの公式はぐぐったんだけども、さすがにn!が(n/e)^nくらいってことは覚えてる(ln(n!)=Σln(k)≒∫ln(x)dx=n*ln(n)-nなので)し、もうすこしちゃんと評価(lnが下凸なので台形近似でたぶんいける)すれば簡単な計算でそこそこの精度は出せるはず。

註2:
ここでなんか面倒な計算が出てしまって悩ましい。
{\displaystyle1.024^5<\left(1+\dfrac1{40}\right)^5=\sum_{k=0}^5\binom5k\dfrac1{40^k}<1+\dfrac18+\sum_{k=2}^5\binom52\dfrac1{40^2}<1+\dfrac6{40}=1.15}とでもするのが素直かと思ったが、ここで
{\displaystyle\left(1+\dfrac1{40}\right)^{40}=\sum_{k=0}^{40}\dfrac{40!}{k!(40-k)!40^k}<\sum_{k=0}^{40}\dfrac1{k!}<1+\sum_{k=1}^{40}\dfrac1{2^{k-1}}<3}より、{\left(1+\dfrac1{40}\right)^5<3^{\frac18}<1.8^{\frac14}<1.2}というのもなかなか楽しげでは?

*1:可愛い