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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

専用マグネットバー“くっつくん”は別売り商品です。

自作数学問題bot 箱庭数学

shaitan.hatenablog.com

m=nは明らか。
m< nのときm=ga, n=gb, (a< bは互いに素)とおく。
(ga)^n=(gb)^mよりg^(n-m)a^n=b^mだが、aとbは互いに素なのでa=1。
これを代入して両辺のm乗根をとるとg^(b-1)=b。
b>1よりg>1であり、{g^{b-1}=\displaystyle\sum_{k=0}^{b-1}\binom{b-1}k(g-1)^k\leq\binom{b-1}0+\binom{b-1}1=b}
等号成立はb-1=1かつg-1=1のとき、つまり(m,n)=(2,4)のとき。
m>nのときも同様なので、あわせて(m,n)=(2,4),(4,2),(k,k) (kは任意の自然数)