m=nは明らか。
m< nのときm=ga, n=gb, (a< bは互いに素)とおく。
(ga)^n=(gb)^mよりg^(n-m)a^n=b^mだが、aとbは互いに素なのでa=1。
これを代入して両辺のm乗根をとるとg^(b-1)=b。
b>1よりg>1であり、。
等号成立はb-1=1かつg-1=1のとき、つまり(m,n)=(2,4)のとき。
m>nのときも同様なので、あわせて(m,n)=(2,4),(4,2),(k,k) (kは任意の自然数)
m=nは明らか。
m< nのときm=ga, n=gb, (a< bは互いに素)とおく。
(ga)^n=(gb)^mよりg^(n-m)a^n=b^mだが、aとbは互いに素なのでa=1。
これを代入して両辺のm乗根をとるとg^(b-1)=b。
b>1よりg>1であり、。
等号成立はb-1=1かつg-1=1のとき、つまり(m,n)=(2,4)のとき。
m>nのときも同様なので、あわせて(m,n)=(2,4),(4,2),(k,k) (kは任意の自然数)