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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

前の記事のタイトルは「インテル入ってる」の方が良かったかなって思った


2^(n+1)個の自然数をa[1]≦a[2]≦…≦a[2^n]≦b[1]≦b[2]≦…≦b[2^n]とおき、2≦a[2^n]であるとする。
Πa[k]≧a[2^n]≧2 (k=1,2,...,2^n。以下、総和および総積の範囲はこれと同じなので省略する。)。
2≦b[k]であるから、Πb[k]≧2^(2^n-1)b[2^n]≧2^(C[n,0]+C[n,1]-1)b[2^n]=2^nb[2^n]≧Σb[k]。(ただしC[i,j]は二項係数)
これらより、Σa[k]+Σb[k]≦2Σb[k]≦(Πa[k])(Πb[k])。
左側の等号成立にはΣa[k]=Σb[k]が必要である。
ここで、定義よりa[k]≦b[k]であるからこの等号がすべて成立している。
特にa[1]=b[1]≧2なのでΠa[k]≧a[2^n]*a[1]=4>2となり右側の等号は成立しない。
以上からΣa[k]+Σb[k]=(Πa[k])(Πb[k])のときa[2^n]=1、つまり任意のkについてa[k]=1。
従って、2^(n+1)個の自然数の和と積が等しいとき、少なくとも2^n個は1である。