東大2016年前期理系問題1

を自然対数の底，すなわちとする。
すべての正の実数に対し，次の不等式が成り立つことを示せ。

補題「数列 $\{a_n\}$ が単調増加で $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alpha$ のとき、 $\alpha > a_0$ 」を示す。
1より大きい任意のnに対し $a_n >a_1$ なので $\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\geq\lim\limits_{n\to\infty}a_1=a_1 > a_0$ 。

ここで、 $a_n=\left(1+\dfrac1{2^nx}\right)^{2^nx}$ を考える。
$a_{n+1}= \left(1+\dfrac1{2^{n+1}x}\right)^{2(2^nx)}=\left(1+\dfrac1{2^nx}+\dfrac1{2^{2n+2}x^2}\right)^{2^nx} > a_n$ より $\{a_n\}$ は単調増加。
さらに $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=e$ であるから、補題より $e > a_0 = \left(1+\dfrac1x\right)^x$ 。

また、 $f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^{x+\frac12}$ 、 $x_0=x, x_{n+1}=2x_n+\dfrac12$ とおき、 $b_n=-f(x_n)$ とする。
$b_{n+1}=-\left(1+\dfrac1{x_{n+1}}\right)^{2(x_{n}+\frac12)}=\cdots=-\left(1+\dfrac1{x_n+\frac14}\right)^{x_{n}+\frac12} > b_n$ より $\{b_n\}$ は単調増加。
さらに $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{x_n}\right)^{x_n}=e$ かつ $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{1+\dfrac1{x_n}}=1$ より $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=-e\cdot1=-e$ であるから、補題より $-e > b_0$ 。つまり $e < -b_0=f(x_0)=\left(1+\dfrac1x\right)^{x+\frac12}$ 。