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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東大2016年前期理系問題1

箱庭数学
e自然対数の底,すなわちe=\lim\limits_{t\to\infty}\left(1+\dfrac1t\right)^tとする。
すべての正の実数xに対し,次の不等式が成り立つことを示せ。
\left(1+\dfrac1x\right)^x < e < \left(1+\dfrac1x\right)^{x+\frac12}

補題「数列\{a_n\}が単調増加で\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\alphaのとき、\alpha > a_0」を示す。
1より大きい任意のnに対しa_n >a_1なので\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\geq\lim\limits_{n\to\infty}a_1=a_1 > a_0

ここで、a_n=\left(1+\dfrac1{2^nx}\right)^{2^nx}を考える。
a_{n+1}= \left(1+\dfrac1{2^{n+1}x}\right)^{2(2^nx)}=\left(1+\dfrac1{2^nx}+\dfrac1{2^{2n+2}x^2}\right)^{2^nx} > a_nより\{a_n\}は単調増加。
さらに\lim\limits_{n\to\infty}a_n=eであるから、補題よりe > a_0 = \left(1+\dfrac1x\right)^x

また、f(x)=\left(1+\dfrac1x\right)^{x+\frac12}x_0=x, x_{n+1}=2x_n+\dfrac12とおき、b_n=-f(x_n)とする。
b_{n+1}=-\left(1+\dfrac1{x_{n+1}}\right)^{2(x_{n}+\frac12)}=\cdots=-\left(1+\dfrac1{x_n+\frac14}\right)^{x_{n}+\frac12} > b_n より\{b_n\}は単調増加。
さらに\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac1{x_n}\right)^{x_n}=eかつ\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{1+\dfrac1{x_n}}=1より\lim\limits_{n\to\infty}b_n=-e\cdot1=-eであるから、補題より-e > b_0。つまりe < -b_0=f(x_0)=\left(1+\dfrac1x\right)^{x+\frac12}


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高校範囲だと極限をどう扱うのかよく分かってない。こういう解答だとバツかも。
なるべく計算量が少なくなるように頑張ったつもり(二乗の展開と分数の足し算くらい?)。