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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東大2015年前期理系問題4

数列\{p_n\}を次のように定める。
p_1=1, p_2=2, p_{n+2}=\dfrac{p_{n+1}^2+1}{p_n} (n=1,2,3,\ldots)
(1)\dfrac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}がnによらないことを示せ。
(2)すべてのn=2,3,4,\ldotsに対し、p_{n+1}+p_{n-1}p_nのみを使って表せ。
(3)数列\{q_n\}を次のように定める。
q_1=1, q_2=2, q_{n+2}=q_{n+1}+q_n (n=1,2,3,\ldots)
すべてのn=1,2,3,\ldotsに対し、p_n=q_{2n-1}を示せ。

(1)
すべてのn=1,2,3,\ldotsに対しp_{n+2}p_n=p_{n+1}^2+1であるから、
\dfrac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}=\dfrac{p_{n+2}p_n+p_n^2}{p_{n+1}p_n}=\dfrac{p_{n+2}+p_n}{p_{n+1}}=\dfrac{p_{n+2}^2+p_{n+2}p_n}{p_{n+2}p_{n+1}}=\dfrac{p_{n+2}^2+p_{n+1}^2+1}{p_{n+2}p_{n+1}}
となりnによらない。
(2)
(1)の途中式よりすべてのn=1,2,3,\ldotsに対し
\dfrac{p_{n+2}+p_n}{p_{n+1}}=\dfrac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}であるが、
(1)の結果より右辺はnによらず\dfrac{p_2^2+p_1^2+1}{p_2p_1}=3に等しい。
添え字の範囲に注意すると、すべてのn=2,3,4,\ldotsに対し、\dfrac{p_{n+1}+p_{n-1}}{p_n}=3
すなわち{p_{n+1}+p_{n-1}}=3{p_n}
(3)
数列\{q_{2n-1}\}を考えると、q_{2\cdot1-1}=q_1=1=p_1q_{2\cdot2-1}=q_3=q_2+q_1=2=p_2であるから、q_{2(n+1)-1}+q_{2(n-1)-1}=3q_{2n-1}\quad(n=2,3,4,\ldots)が成立することを示せばよい。
すべてのn=2,3,4,\ldotsに対し、q_{2(n+1)-1}=q_{2n}+q_{2n-1}, q_{2n}=q_{2n-1}+q_{2n-2}, q_{2n-1}=q_{2n-2}+q_{2(n-1)-1}であるが、これらからq_{2n},q_{2n-2}を消去すると示すべき式が得られる。