shaitan's blog

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東大2001年後期理系問題1

任意の自然数n\geq2に対して,常に不等式
\quad\displaystyle n-\sum_{k=2}^n\frac{k}{\sqrt{k^2-1}}\geq\frac{i}{10}
が成立するような最大の整数iを求めよ。

示すべき不等式の左辺をA(n)とおく。
A(n)=1+\displaystyle\sum_{k=2}^n\frac{\sqrt{k^2-1}-k}{\sqrt{k^2-1}}=1-\sum_{k=2}^n\frac1{\sqrt{k^2-1}(\sqrt{k^2-1}+k)}である。
ここで、\sqrt{k^2-1}(\sqrt{k^2-1}+k) > 2(k^2-1)であるから、
 A(n)\displaystyle >1-\sum_{k=2}^n\frac1{2(k^2-1)}=1-\frac14\sum_{k=2}^n\left(\frac1{k-1}-\frac1{k+1}\right)=\frac58+\frac1{4(n+1)}>\frac58>\frac6{10}.
また、\sqrt{k^2-1}(\sqrt{k^2-1}+k) < (k^2-1)+k^2=2k^2-1<2(k^2-\frac14)であるから、
 A(15)\displaystyle < 1-\sum_{k=2}^{15}\frac1{2(k^2-\frac14)}=1-\frac12\sum_{k=2}^{15}\left(\frac1{k-\frac12}-\frac1{k+\frac12}\right)=\frac23+\frac1{31}<\frac{21}{30}=\frac7{10}.
以上より、求める整数i=6である。