shaitan's blog

長文書きたいときに使う．

京大2017年前期理系問題6

箱庭数学 
nを自然数とする. 
n個の箱すべてに, \fbox1, \fbox2, \fbox3, \fbox4, \fbox5の5種類のカードがそれぞれ1枚ずつ計5枚入っている.
各々の箱から1枚ずつカードを取り出し, 取り出した順に左から並べてn桁の数Xを作る. 
このとき, Xが3で割り切れる確率を求めよ.

Xを3で割った余りをR(X)とする。ここで0≦R(X)<3。
\omega=\dfrac{-1+\sqrt3i}2とおくと、\omega^3=1より\omega^X=\omega^{R(X)}であるから、
全ての取り出し方について\omega^Xの和をとると、R(X)=rであるような取り出し方の総数をN(r)として
\displaystyle\sum_{X}\omega^X=\sum_{r=0}^2\omega^rN(r)=N(0)-\frac12(N(1)+N(2))+\frac{\sqrt3i}2(N(1)-N(2))となる。
ここで、箱ごとに計算すると
\displaystyle\sum_{X}\omega^X=\prod_{k=1}^n\left(\sum_{j=1}^5\omega^{j\cdot10^{k-1}}\right)=\left(\sum_{j=1}^5\omega^j\right)^n=(-1)^n
であるから、実部及び虚部を比較してN(1)=N(2)=N(0)-(-1)^n。
全てのカードの取り出し方は5^n=\displaystyle\sum_{r=0}^2N(r)=3N(0)-2(-1)^n通りであるから、
求める確率は\dfrac{N(0)}{5^n}=\dfrac13\left\{1+2\left(-\dfrac15\right)^{n}\right\}。