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shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京都大学2017年前期理系問題2

四面体OABCを考える. 
点D, E, F, G, H, Iは, それぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり, 頂点ではないとする.
このとき, 次の問に答えよ.
(1)\vec{\mathrm{DG}}\vec{\mathrm{EF}}が平行ならばAE:EB=CF:FBであることを示せ.
(2)D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき,
これらの点はOABCの各辺の中点であり, OABCは正四面体であることを示せ.

(1)
\vec{\mathrm{DG}}\vec{\mathrm{EF}}が平行のとき、D, G, E, Fは同一平面上にあり、この平面を\alphaとする。
平面\alphaと直線ACが共有点Pをもつと仮定する。
Pは平面\alphaと平面OACの交線上にある。すなわち直線DG上にある。同様に直線EF上にあることが言えるがこれは\vec{\mathrm{DG}}\vec{\mathrm{EF}}が平行であることに反する。したがって平面\alphaと直線ACは共有点をもたない。
特に、直線EFと直線ACは共有点を持たず、同一平面上にあるので平行である。
これより、△BEF∽△BACであるからAB:EB=CB:FB。従ってAE:EB=CF:FB。
(2)
正四面体の各辺の中点を結んでできる八面体は各面が正三角形であり、正八面体である。
この正八面体の面のうち、もとの正四面体の面に含まれるものを考える。
これらの面は辺を共有しない四面であり、これらの面のそれぞれを含む平面が空間から切り取る領域はもとの正四面体、つまり各辺の中点がこの正八面体の頂点と一致する正四面体である。
さて、ここで正八面体の辺を共有しない四面DEH, GFH, EFI, DGIを考えると、これらの面のそれぞれを含む平面が空間から切り取る領域は各辺の中点がD,E,F,G,H,Iと一致する正四面体であるがこれは四面体OABCに他ならないから題意は示された。


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もうちょっと素直に面DEH, GFH, EFI, DGIから始めてもよくて、
この対称性はT_dで、これらの面を含む平面で切り取られる領域(四面体OABC)も同じ対称性をもつから、それが正四面体に限ることを言えば良い。
EHの垂直二等分面に関する鏡像対称性を使ってもいい(DがAOの中点でAB=OBが言える)し、
DF周りの二回軸(D,FがAO,CBの中点であることが言える)とDEHの中心を通る法線周りの三回軸(△ABOが正三角形であることが言える)でもよい。