shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

東工大2017年前期問題2

実数xの関数\displaystyle f(x)=\int_x^{x+\frac\pi2}\frac{|\sin t|}{1+\sin^2t}dt の最大値と最小値を求めよ.

g(t)=\dfrac{|\sin t|}{1+\sin^2t}とおくと、g(t+\pi)=g(t), g(\pi-t)=g(t)である。
f(x+\pi)=\displaystyle\int_{x+\pi}^{x+\pi+\frac\pi2}g(t)dt=\int_{x}^{x+\frac\pi2}g(s+\pi)ds=f(x)\quadt-\pisに変数変換)。
従ってf(x)は周期πの周期関数であるから、-\dfrac\pi4\leq x< \dfrac{3\pi}4の範囲で考えればよい。
更にf\left(\dfrac\pi2-x\right)=\displaystyle\int_{\frac\pi2-x}^{\pi-x}g(t)dt=-\int_{x+\frac\pi2}^{x}g(\pi-s)ds=f(x)\quad\pi-tsに変数変換)。
であることに注意すると、-\dfrac\pi4\leq x\leq\dfrac\pi4の範囲で考えればよい。
ここで
f(x)-f\left(-\dfrac\pi4\right)=\displaystyle\int_{\frac\pi4}^{x+\frac\pi2}g(t)dt-\int_{-\frac\pi4}^xg(t)dt=\int_{-\frac\pi4}^x\left\{g\left(t+\dfrac\pi2\right)-g(t)\right\}dt
であり、
g\left(t+\dfrac\pi2\right)-g(t)=\dfrac{|\cos t|}{1+\cos^2t}-\dfrac{|\sin t|}{1+\sin^2t}=\dfrac{(|\cos t|-|\sin t|)(1-|\cos t||\sin t|)}{(1+\cos^2t)(1+\sin^2t)}となるが、-\dfrac\pi4\leq t\leq\dfrac\pi4の範囲でこれは非負である。
これよりf(x)\geq f\left(-\dfrac\pi4\right)なので最小値はf\left(-\dfrac\pi4\right)。同様に最大値はf\left(\dfrac\pi4\right)となることが言える。
\cos tを変数変換して部分分数分解すると積分できるが計算及び答えは省略する。

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増減表もあまり好きではない。そもそもこの環境でどう書くのが良いか調べてない。