shaitan's blog

長文書きたいときに使う.

京大2017年前期理系問題5

a≧0とする.
0\geq x\geq\sqrt2の範囲で曲線y=xe^{-x}, 直線y=ax, 直線x=\sqrt2によって囲まれた部分の面積をS(a)とする. 
このとき, S(a)の最小値を求めよ.
(ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする.)

直線\ell:y=xe^{-1}と曲線C:y=xe^{-x}の位置関係を考える。
\dfrac xe-xe^{-x}=x(e^{-1}-e^{-x})であるから、これらは点(0,0)と(1,e^{-1})を共有し、0< x<1の範囲ではCは\ellの上にあり、1< xでは\ellはCの上にある。

求める囲まれた部分のうち、y>axにあるものとy< axにあるものに分け、それらの領域をそれぞれA_1(a), A_2(a)、面積をそれぞれS_1(a), S_2(a)とする。そのような部分が存在しない場合は領域は空集合、面積は0とする。
直線\ellとy=axとx=1で囲まれた三角形と直線\ellとy=axとx=\sqrt2で囲まれた三角形は相似であり、相似比は1:\sqrt2であるから、直線\ellとy=axとx=1で囲まれた三角形と直線\ellとy=axとx=1とx=\sqrt2で囲まれた四角形の面積は等しい。この面積をS'とおく。
a>e^{-1}のとき、
A_1(a)A_1(e^{-1})に含まれ、A_1(e^{-1})からA_1(a)を取り除いた領域は直線\ellとy=axとx=1で囲まれた三角形に含まれるからS_1(a)-S_1(e^{-1})>-S'である。
同様にS_2(a)-S_2(e^{-1})>S'が言えるのでS(a)>S(e^{-1})
a< e^{-1}のとき、同様の議論によりS(a)>S(e^{-1})
従って、求める最小値はS(e^{-1})。以下、積分計算を行えば求まる。

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これは図を描いた方が分かりやすいよなあ(描く気はない)。