a≧0とする. の範囲で曲線, 直線y=ax, 直線によって囲まれた部分の面積をS(a)とする. このとき, S(a)の最小値を求めよ. (ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする.)
直線と曲線の位置関係を考える。
であるから、これらは点(0,0)とを共有し、0< x<1の範囲ではCはの上にあり、1< xでははCの上にある。
求める囲まれた部分のうち、y>axにあるものとy< axにあるものに分け、それらの領域をそれぞれ、面積をそれぞれとする。そのような部分が存在しない場合は領域は空集合、面積は0とする。
直線とy=axとx=1で囲まれた三角形と直線とy=axとで囲まれた三角形は相似であり、相似比はであるから、直線とy=axとx=1で囲まれた三角形と直線とy=axとx=1とで囲まれた四角形の面積は等しい。この面積をS'とおく。
のとき、
はに含まれ、からを取り除いた領域は直線とy=axとx=1で囲まれた三角形に含まれるからである。
同様にが言えるので。
のとき、同様の議論により。
従って、求める最小値は。以下、積分計算を行えば求まる。
これは図を描いた方が分かりやすいよなあ(描く気はない)。