shaitan's blog

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第7回 近畿大学理工学部数学コンテスト 問題2

全てのnに対し\tan\left(\frac x{2^n}\right)の値があるので、xがπの整数倍となるのはx=0のときのみ。このとき与式の値は0。
以下、xはπの整数倍でないとする。
\tan\theta-\dfrac1{\tan\theta}=\dfrac{\tan^2\theta-1}{\tan\theta}=-\dfrac2{\tan(2\theta)}に注意すると、
\displaystyle\sum_{n=0}^m\frac{\tan\left(\frac x{2^n}\right)}{2^n}-\dfrac1{2^m\tan\left(\frac x{2^m}\right)}=\displaystyle\sum_{n=0}^{m-1}\frac{\tan\left(\frac x{2^n}\right)}{2^n}-\dfrac1{2^{m-1}\tan\left(\frac x{2^{m-1}}\right)}
=\cdots=\tan x-\dfrac1{\tan x}
であるからm→∞の極限をとって\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{\tan\left(\frac x{2^n}\right)}{2^n}=\dfrac1x+\tan x-\dfrac1{\tan x}となる。

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なお、こちらにもほぼ同じ問題がある。