AD//BCなる台形ABCDがあり∠ABD=18°, ∠DBC=30°, ∠ACB=54°のとき∠ACDを求めよ。
ACとBDの交点をEとおく。辺BC上にAF=BFを満たす点Fをとる。AF=BF=1として一般性を失わない。
△ACFにおける正弦定理よりCF=AFsin∠CAF/sin∠ACF=1/(2sin54°)=1/(2cos36°)。
ここで、sin(2*36°)=sin(3*36°)よりcos36°は4x^2-2x-1=0の根であり、cos36°>0よりcos36°=(√5+1)/4であるからCF=(√5-1)/2。
△ACF∽△BCEとAD//BCに注意してBC^2/(BE・BD)=(BC/BE)^2(BE/BD)=AC^2(AF/AC)=AC・AF=BC・CF=(1+CF)CF=1。
△BDC∽△BCEより∠BDC=∠BCE=54°。従って∠ACD=180°-30°-54°-54°=42°。
twitterと異なり文字数等を気にせずに書けるのでもうちょっと親切にしようと思ったが面倒になった。とはいえ、一度解いたものをいじっているので読みやすくはなっているはず。
