不等式bot[26] - shaitan's blog

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— 不等式bot (@Inequalitybot) November 8, 2019

$\left(\dfrac{a\sqrt a}{a\sqrt{b^2+1}},\dfrac{b\sqrt b}{b\sqrt{c^2+1}},\dfrac{c\sqrt c}{c\sqrt{a^2+1}}\right)$ と $\left({a\sqrt{b^2+1}},{b\sqrt{c^2+1}},{c\sqrt{a^2+1}}\right)$ にCaychy-Schwarzの不等式を適用して、 $\text{LHS}\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}a^2(b^2+1)\geq\dfrac43\text{RHS}$ となる。
ここで $1\geq(a^2+b^2+c^2)^2-\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}\dfrac{(a^2-b^2)^2}2=\sum_{\text{cyc.}}3a^2b^2$ であるから、
$\displaystyle\sum_{\text{cyc.}}a^2(b^2+1)=\sum_{\text{cyc.}}(a^2b^2+a^2)\leq\dfrac43$ となり、上の結果と合わせて求めるべき不等式を得る。